Квазичастицы
в
графене
обладают линейным
законом дисперсии
вблизи дираковских точек и их свойства полностью описываются
уравнением Дирака
. Сами дираковские точки находятся на краях
зоны Бриллюэна
, где электроны обладают большим волновым вектором. Если пренебречь процессами переброса между долинами, то этот большой вектор никак не влияет на транспорт в низкоэнергетическом приближении, поэтому волновой вектор, фигурирующий в уравнении Дирака, отсчитывают от дираковских точек и уравнение Дирака записывают для разных долин отдельно.
Вывод
Зонная структура
Если учесть только вклад ближайших соседей в формирование
энергетических зон
, то
гамильтониан
в
приближении сильной связи
для
гексагональной
кристаллической решётки примет вид
-
где
— интеграл перекрытия между волновыми функциями ближайших соседей, который определяет также вероятность перехода («прыжка») между соседними атомами (атомами из разных подрешёток), операторы
и
операторы рождения
, действующие на треугольных подрешётках кристалла
и
соответственно,
и
—
операторы уничтожения
. Они удовлетворяют обычным антикоммутационным соотношениям
для фермионов
:
-
Шесть векторов
и
указывают на ближайшие узлы от выбранного центрального атома и задаются соотношениями
-
-
Фурье преобразование
операторов рождения и уничтожения
-
где интегрирование по волновым векторам ведётся из
первой зоны Бриллюэна
, позволяет записать гамильтониан в виде
-
где приняты следующие обозначения:
-
и
-
Выражение (1.6) можно получить если подставить (1.5) в (1.1). Рассмотрим сумму
-
которую, использовав соотношения (1.5) можно записать в виде
-
или
-
Используя соотношение
-
получим после интегрирования по
выражение
-
Аналогичное преобразование второй суммы в гамильтониане (1.1) приводит к искомому результату (1.6).
Собственные значения
гамильтониана (1.8) принимают значения
-
-
которые определяют зонную структуру графена.
Низкоэнергетическое приближение
Зоны (1.14) с положительной энергией (
электронов
) и с отрицательной энергией (
дырок
) касаются в шести точках, называемые дираковскими точками, поскольку вблизи них энергетический спектр приобретает линейную зависимость от волнового вектора. Координаты этих точек равны
-
Две независимые долины можно выбрать так, что вершины валентных зон будут находиться в дираковских точах с координатами
-
Рассмотрим недиагональный элемент
гамильтониана (1.8). Разложим его вблизи дираковских точек (2.2) по малому параметру d
-
Для
разложение вычисляется аналогично и в итоге можно записать гамильтониан для квазичастиц вблизи дираковских точек в виде
-
где фермиевская скорость
и
-
Здесь
и
—
матрицы Паули
.
Если теперь перейти в координатное представление сделав фурье преобразование гамильтониана (2.4), то придём к гамильтониану в
уравнении Дирака
для
квазичастиц
в графене
-
Решением уравнения Дирака для графена
будет четырёхкомпонентный столбец вида
-
где индексы
и
соответствуют двум подрешёткам кристалла, а знаки «+» и «-» обозначают неэквивалентные дираковские точки k-пространстве.
Произвольный поворот системы координат
Поскольку
закон дисперсии
не должен зависеть в низкоэнергетическом приближении от ориентации кристаллической решётки относительно системы координат, а уравнение Дирака для графена не обладает таким свойством, то возникает вопрос об общем виде уравнения Дирака при повороте системы координат. Ясно, что единственное различие между уравнениями Дирака в заданной системе координат и повёрнутой на угол
системой координат, при условии сохранения закона дисперсии, заключается в добавке фазовых факторов. Вычисления приводят к гамильтониану для свободных частиц вида
-
из которого можно получить все уравнения, которые используются в литературе (при условии выбора противолежащих K точек).
В литературе встречается гамильтониан в виде
-
который получается из (3.1) если взять угол
.
Решение уравнения Дирака
Рассмотрим гамильтониан для одной долины
-
Волновая функция представляется в виде спинора состоящего из двух компонентов
-
Эта функция удовлетворяет следующему уравнению для свободных частиц
-
Подставляя второе уравнение в первое получим
волновое уравнение
-
решением которого будет плоская волна
-
Собственные значение имеют вид непрерывного линейного спектра
-
Вторую компоненту волновой функции легко найти подставив найденное решение во второе уравнение (4.3)
-
Поэтому волновая функция для
долины запишется в виде
-
Примечания
-
Novoselov K. S.
et al.
«Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene», Nature
438
, 197 (2005)
doi
:
-
↑
Sitenko Yu. A., Vlasii N. D. Electronic properties of graphene with a topological defect Nucl. Phys. B
787
, 241 (2007)
doi
:
-
Ando T. «Theory of Electronic States and Transport in Carbon Nanotubes» J. Phys. Soc. Jpn.
74
, 777 (2005)
doi
:
-
Gusynin V. P.,
et. al.
AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 2+1-dimensional quantum electrodynamics Int. J. Mod. Phys. B
21
, 4611 (2007)
doi
:
Литература
-
, Меркулова С.П., Соколик А.А.
//
УФН
. — 2008. —
Т. 178
,
№ 7
. —
С. 757–776
.