Interested Article - Теорема Стеклова

Теорема Стеклова — одна из фундаментальных теорем математической физики и теории рядов Фурье . Одно из важнейших применений теоремы Стеклова в теории дифференциальных уравнений в частных производных состоит в том, что она дает строгое математическое обоснование метода Фурье (разделения переменных) для решения смешанных краевых задач для уравнений гиперболического типа (например, уравнения колебаний струны ). Доказана в начале XX века русским математиком В. А. Стекловым .

Любая функция $f\in C^{2}[a,b]$ , удовлетворяющая условиям $f(a)=f(b)=0$ , разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по ортогональной системе собственных функций $\{y_{n}(x)\}$ задачи Штурма—Лиувилля , то есть

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}y_{n}(x),\quad c_{n}={\frac {(f,y_{n})}{(y_{n},y_{n})}},

где скалярное произведение $(\cdot ,\cdot )$ и ортогональность системы функций понимаются в смысле гильбертова пространства $L^{2}[a,b].$

Литература

Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. Ч. I—II. — Пг., 1922—1923.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Любое издание.
Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. — М.: Наука, 1988.

Примечания

Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными, гл. II, раздел II.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики, гл. V, параграф 26.