Interested Article - Распределение Лапласа

Распределе́ние Лапла́са ( двойно́е экспоненциа́льное ) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины , при котором плотность вероятности есть

f(x)={\frac {\alpha }{2}}\,e^{-\alpha |x-\beta |},\quad -\infty <x<+\infty ,

где $\alpha >0$ — параметр масштаба, $-\infty <\beta <+\infty$ — параметр сдвига.

Функция распределения

По определению, функция распределения — это интеграл от плотности распределения:

F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-\alpha |t-\beta |}\,dt.

Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая:

F(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta ,\\1-{\frac {1}{2}}e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta .\end{cases}}

Проверка свойств полученной функции:

$F(x)$ не убывает, так как $f(x)$ положительна.
$F(\beta -0)=F(\beta +0)={\frac {1}{2}}$ , следовательно, $F(x)$ непрерывна в точке $\beta$
$F(x)$ ограничена.
Пределы на бесконечностях:

\lim _{x\to -\infty }F(x)={\frac {1}{2}}\lim _{x\to -\infty }e^{-\alpha |x-\beta |}=0,

\lim _{x\to +\infty }F(x)=1-{\frac {1}{2}}\lim _{x\to +\infty }e^{-\alpha (x-\beta )}=1.

Математическое ожидание и дисперсия

В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал $(-\infty ,+\infty )$ при вычислениях необходимо разбить на $(-\infty ,\beta )$ и $[\beta ,+\infty )$ . Интегралы берутся по частям , при подстановке бесконечностей ( $\pm \infty$ ) рассматриваются пределы вида $\lim _{x\to \pm \infty }r(x)$ . В результате

\operatorname {E} \xi =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx=\beta

детали расчёта

$\operatorname {E} \xi =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{\beta }xe^{\alpha (x-\beta )}dx+{\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{\beta }^{+\infty }xe^{-\alpha (x-\beta )}dx=$ $={\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha }}xe^{\alpha (x-\beta )}{\bigg |}_{-\infty }^{\beta }-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha }}\int \limits _{-\infty }^{\beta }e^{\alpha (x-\beta )}dx-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha }}xe^{-\alpha (x-\beta )}{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }+{\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha }}\int \limits _{\beta }^{+\infty }e^{-\alpha (x-\beta )}dx=$ $={\frac {\beta }{2}}-{\frac {1}{2\alpha }}e^{\alpha (x-\beta )}{\bigg |}_{-\infty }^{\beta }+{\frac {\beta }{2}}-{\frac {1}{2\alpha }}e^{-\alpha (x-\beta )}{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }=\beta -{\frac {1}{2\alpha }}+{\frac {1}{2\alpha }}=\beta$

\operatorname {E} \xi ^{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)dx=\beta ^{2}+{\frac {2}{\alpha ^{2}}}

детали расчёта

$\operatorname {E} \xi ^{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)dx={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{\beta }x^{2}e^{\alpha (x-\beta )}dx+{\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{\beta }^{+\infty }x^{2}e^{-\alpha (x-\beta )}dx=$ $={\frac {\alpha }{2}}{\frac {x^{2}e^{\alpha (x-\beta )}}{\alpha }}{\bigg |}_{-\infty }^{\beta }-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {2}{\alpha }}\int \limits _{-\infty }^{\beta }xe^{\alpha (x-\beta )}dx+{\frac {\alpha }{2}}{\frac {x^{2}e^{-\alpha (x-\beta )}}{-\alpha }}{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }+{\frac {\alpha }{2}}{\frac {2}{\alpha }}\int \limits _{\beta }^{+\infty }xe^{-\alpha (x-\beta )}dx=$ $={\frac {\beta ^{2}}{2}}-{\frac {\beta }{\alpha }}+{\frac {1}{\alpha ^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{2}}+{\frac {\beta }{\alpha }}+{\frac {1}{\alpha ^{2}}}=\beta ^{2}+{\frac {2}{\alpha ^{2}}}$

\operatorname {D} \xi =\operatorname {E} \xi ^{2}-(\operatorname {E} \xi )^{2}=\beta ^{2}+{\frac {2}{\alpha ^{2}}}-\beta ^{2}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}

Моменты

\operatorname {E} \xi ^{k}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)dx=\sum _{i=0}^{\left\lfloor k/2\right\rfloor }{\frac {\beta ^{k-2i}}{\alpha ^{2i}}}{\frac {k!}{(k-2i)!}}

,

где $\left\lfloor s\right\rfloor$ — целая часть s.

детали расчёта

$\operatorname {E} \xi ^{k}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)dx={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{\beta }x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}dx+{\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{\beta }^{+\infty }x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}dx$

Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:

$\int x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}dx={\frac {1}{\alpha }}x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}-{\frac {k}{\alpha ^{2}}}x^{k-1}e^{\alpha (x-\beta )}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}x^{k-2}e^{\alpha (x-\beta )}-$ $\ldots +(-1)^{k-1}{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}xe^{\alpha (x-\beta )}+(-1)^{k}{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}e^{\alpha (x-\beta )}$

$\int x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}dx=-{\frac {1}{\alpha }}x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}-{\frac {k}{\alpha ^{2}}}x^{k-1}e^{-\alpha (x-\beta )}-{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}x^{k-2}e^{-\alpha (x-\beta )}-$ $\ldots -{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}xe^{-\alpha (x-\beta )}-{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}e^{-\alpha (x-\beta )}$

После подстановок пределов интегрирования:

$\int \limits _{-\infty }^{\beta }x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}dx={\frac {1}{\alpha }}\beta ^{k}-{\frac {k}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-1}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}\beta ^{k-2}-$ $\ldots +(-1)^{k-1}{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}\beta +(-1)^{k}{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}$

$\int \limits _{\beta }^{+\infty }x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}dx={\frac {1}{\alpha }}\beta ^{k}+{\frac {k}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-1}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}\beta ^{k-2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}\beta +{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}$

Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:

$\operatorname {E} \xi ^{k}={\begin{cases}\beta ^{k}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k}}},&k=2n\\\beta ^{k}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k-1}}}\beta ,&k=2n+1\end{cases}}$

Или, в общем виде:

$\operatorname {E} \xi ^{k}=\sum _{i=0}^{\left\lfloor k/2\right\rfloor }{\frac {\beta ^{k-2i}}{\alpha ^{2i}}}{\frac {k!}{(k-2i)!}}$ , где $\left\lfloor s\right\rfloor$ — целая часть s.

Характеристическая функция

\phi (t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{itx}f(x)dx={\frac {\alpha ^{2}e^{it\beta }}{\alpha ^{2}+t^{2}}}

детали расчёта

$\phi (t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{itx}f(x)dx={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{\beta }e^{itx}e^{\alpha (x-\beta )}dx+{\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{\beta }^{+\infty }e^{itx}e^{-\alpha (x-\beta )}dx$

Оба интеграла находятся, используя формулу Эйлера $\textstyle e^{ix}=\cos x+i\sin x$ и классический пример нахождения интегралов вида $\int e^{\alpha x}\sin \beta x\,dx$ и $\int e^{\alpha x}\cos \beta x\,dx$ (см. Интегрирование по частям:Примеры ):

$\int \limits _{-\infty }^{\beta }e^{itx}e^{\alpha (x-\beta )}dx=\int \limits _{-\infty }^{\beta }(\cos tx+i\sin tx)e^{\alpha (x-\beta )}dx=\int \limits _{-\infty }^{\beta }\cos tx\,e^{\alpha (x-\beta )}dx+i\int \limits _{-\infty }^{\beta }\sin tx\,e^{\alpha (x-\beta )}dx=$ $={\frac {e^{\alpha (x-\beta )}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}\alpha \cos tx+t\sin tx{\Big )}{\bigg |}_{-\infty }^{\beta }+i{\frac {e^{\alpha (x-\beta )}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}a\sin tx-t\cos tx{\Big )}{\bigg |}_{-\infty }^{\beta }=$ $={\frac {1}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}\alpha e^{it\beta }+t(i\cos t\beta -\sin t\beta ){\Big )}$

$\int \limits _{\beta }^{+\infty }e^{itx}e^{-\alpha (x-\beta )}dx=\int \limits _{\beta }^{+\infty }(\cos tx+i\sin tx)e^{-\alpha (x-\beta )}dx=\int \limits _{\beta }^{+\infty }\cos tx\,e^{-\alpha (x-\beta )}dx+i\int \limits _{\beta }^{+\infty }\sin tx\,e^{-\alpha (x-\beta )}dx=$ $={\frac {e^{-\alpha (x-\beta )}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}-\alpha \cos tx+t\sin tx{\Big )}{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }+i{\frac {e^{-\alpha (x-\beta )}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}-a\sin tx-t\cos tx{\Big )}{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }=$ ${\frac {1}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}\alpha e^{it\beta }-t(i\cos t\beta -\sin t\beta ){\Big )}$

Окончательно характеристическая функция есть:

$\phi (t)={\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}ae^{it\beta }+t(i\cos t\beta -\sin t\beta ){\Big )}+{\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}\alpha e^{it\beta }-t(i\cos t\beta -\sin t\beta ){\Big )}={\frac {\alpha ^{2}e^{it\beta }}{\alpha ^{2}+t^{2}}}$

Применение

Распределение применяется для моделирования обработки сигналов, в моделировании биологических процессов, экономике и финансах. Распределение можно применить: