В комбинаторике размеще́нием (из n по k ) называется упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных n элементов.

Пример 1: ${\displaystyle \langle 1,3,2,5\rangle }$ — это 4-элементное размещение из 6-элементного множества ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$ .

Пример 2: некоторые размещения элементов множества ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$ по 2: ${\displaystyle \langle 1,2\rangle }$ ${\displaystyle \langle 1,3\rangle }$ ${\displaystyle \langle 1,4\rangle }$ ${\displaystyle \langle 1,5\rangle }$ … ${\displaystyle \langle 2,1\rangle }$ ${\displaystyle \langle 2,3\rangle }$ ${\displaystyle \langle 2,4\rangle }$ … ${\displaystyle \langle 2,6\rangle }$ …

В отличие от сочетаний , размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы ${\displaystyle \langle 2,1,3\rangle }$ и ${\displaystyle \langle 3,2,1\rangle }$ являются различными размещениями, хотя состоят из одних и тех же элементов ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ (то есть совпадают как сочетания).

Заполнить ряд - значит надо поместить на каком-нибудь месте этого ряда какой-либо объект из данного множества (причём каждый объект можно использовать всего лишь один раз). Ряд, заполненный объектами данного множества, называется размещением , т. е. мы разместили объекты на данных местах.

Число размещений

Число размещений из n по k , обозначаемое ${\displaystyle A_{n}^{k}}$ , равно убывающему факториалу :

${\displaystyle A_{n}^{k}=n^{\underline {k}}=(n)_{k}=n(n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}}$ .

Элементарным образом выражается через символ Похгаммера :

${\displaystyle A_{n}^{k}=(n-k+1)_{k}}$ .

Последнее выражение имеет естественную комбинаторную интерпретацию: каждое размещение из n по k однозначно соответствует некоторому сочетанию из n по k и некоторой перестановке элементов этого сочетания; число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ , в то время как перестановок на k элементах ровно k ! штук.

При k = n число размещений равно числу перестановок порядка n :

${\displaystyle A_{n}^{n}=P_{n}=n!}$ .

Справедливо следующее утверждение: ${\displaystyle A_{n}^{n-1}=A_{n}^{n}}$ . Доказывается тривиально:

${\displaystyle A_{n}^{n-1}={\frac {n!}{(n-(n-1))!}}={\frac {n!}{(n-n+1)!}}=n!=A_{n}^{n}}$ .

Размещение с повторениями

Размещение с повторениями или выборка с возвращением — это размещение «предметов» в предположении, что каждый «предмет» может участвовать в размещении несколько раз.

Число размещений с повторениями

По правилу умножения число размещений с повторениями из n по k , обозначаемое ${\displaystyle {\bar {A}}_{n}^{k}}$ , равно:

${\displaystyle {\bar {A}}_{n}^{k}=n^{k}}$ .

Например, число вариантов 3-значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно:

${\displaystyle {\bar {A}}_{10}^{3}=10^{3}=1000}$ .

Ещё один пример: размещений с повторениями из 4 элементов a , b , c , d по 2 равно 4 ² = 16, эти размещения следующие:

aa , ab , ac , ad , ba , bb , bc , bd , ca , cb , cc , cd , da , db , dc , dd .

См. также

• Обобщённая схема размещения
• Сочетание
• Перестановка

Ссылки