Теоре́ма
Тоне́лли
—
Фуби́ни
в
математическом анализе
,
теории вероятностей
и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.
Формулировка
Пусть даны два
пространства с
-конечными мерами
. Обозначим через
их
произведение
. Пусть
функция
интегрируема
относительно меры
. Тогда
-
функция
определена
-почти всюду и интегрируема относительно
;
-
функция
определена
-почти всюду и интегрируема относительно
;
-
имеют место равенства
-
и
-
Частные случаи
Теория вероятностей
Пусть
—
вероятностные пространства
, и
—
случайная величина
на
. Тогда
-
где индекс обозначает
вероятностную меру
, относительно которой берётся
математическое ожидание
.
Математический анализ
Пусть
функция двух переменных,
интегрируемая по Риману
на прямоугольнике
, то есть
. Тогда
-
где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные. Предполагается, что повторные интегралы существуют.
Доказательство
Любое разбиение
множества
получено некоторыми разбиениями
отрезка
и
отрезка
, при этом объём любого прямоугольника
определяется
, где
― некоторые частичные отрезки разбиений.
Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла
-
и нижних и верхних интегральных сумм функции
и
:
Тогда при интегрируемости
по
, то есть равенстве
из вышеуказанных оценок интеграл
также существует и имеет такое же значение, как и
См. также
Литература
-
Зорич В. А.
. —
М.
: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — С. 131—138.