${\displaystyle E_{8}}$ — наибольшая особая простая группа Ли . ${\displaystyle E_{8}}$ была открыта Вильгельмом Киллингом в 1888—1890 годах, а современное её обозначение пришло из классификации простых алгебр Ли , которую ввели Эли Картан и Вильгельм Киллинг . Классификация выделяет четыре бесконечных семейства простых алгебр Ли , обозначаемых ${\displaystyle A_{n}}$ , ${\displaystyle B_{n}}$ , ${\displaystyle C_{n}}$ , ${\displaystyle D_{n}}$ , и пять особых случаев, обозначаемых E ₆ , , E ₈ , F ₄ и G ₂ .

Описание

${\displaystyle E_{8}}$ имеет ранг 8 и размерность 248 (как многообразие ). Векторы системы корней определены в восьми измерениях.

Схема Дынкина

Схема Дынкина для E ₈ имеет вид

Эта схема вкратце описывает строение системы корней. Каждый узел схемы представляет собой простой корень. Линия, соединяющая два простых корня, означает, что они находятся под углом 120° друг к другу. Два простых корня, не соединённые линией, ортогональны.

Матрица Картана

Матрица Картана системы корней порядка r — это матрица ${\displaystyle r\times r}$ , элементы которой определяются простыми корнями следующим образом:

${\displaystyle A_{ij}=2{\frac {(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}}$

где ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ — евклидово скалярное произведение , а ${\displaystyle \alpha _{i}}$ — простые корни. Элементы матрицы не зависят от выбора простых корней (с точностью до порядка).

Матрица Картана для E ₈ имеет вид

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]}$

Определитель этой матрицы равен 1.

См. также

• Решётка E ₈
• E ₈ -многообразие
• Исключительно простая теория всего

Ссылки

• , Компьютерра , Галактион Андреев, 11 апреля 2007 года
• , Cnews , 20 марта 2007 года