Interested Article - Система уравнений

Систе́ма уравне́ний — условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Обозначения

Формальная запись общего вида может выглядеть так:

{\begin{cases}F_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\F_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\\ldots \\F_{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\\end{cases}}

Фигурная скобка означает, что решение $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})$ должно удовлетворять каждому уравнению.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство .

Типы систем уравнений

Алгебраические уравнения:
- Система линейных алгебраических уравнений
Дифференциальные уравнения:
- Система дифференциальных уравнений ( линейные /нелинейные, обыкновенные / в частных производных )

Методы решения

Существует множество методов решения системы уравнений. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы ( метод Крамера ) и предложено несколько численных — как точных (простейший — метод Гаусса ), так и приближённых ( метод итераций ).

Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Для решения систем дифференциальных уравнений разработана целая .

Разные факты

Любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме $f_{i}(x)=0$ , возвести их в квадрат и сложить.
Обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка можно записать как систему диф. уравнений первого порядка.