Устойчивость — свойство решения дифференциального уравнения притягивать к себе другие решения при условии достаточной близости их начальных данных . В зависимости от характера притяжения выделяются различные виды устойчивости. Устойчивость является предметом изучения таких дисциплин, как теория устойчивости и теория динамических систем .

Определения

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — область фазового пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , ${\displaystyle I=[\tau ;\infty )}$ , где ${\displaystyle \tau \in \mathbb {R} }$ . Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида:

${\displaystyle {\dot {x}}=f(t,x),}$

(1)

где ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ , функция ${\displaystyle f}$ определена , непрерывна и удовлетворяет условию Липшица локально по ${\displaystyle x}$ в области ${\displaystyle I\times \Omega }$ .

При этих условиях для любых ${\displaystyle (t_{0},x_{0})\in I\times \Omega }$ существует единственное решение ${\displaystyle x(t,t_{0},x_{0})}$ системы (1), удовлетворяющее начальным условиям: ${\displaystyle x(t_{0},t_{0},x_{0})=x_{0}}$ . Выделим некоторое решение ${\displaystyle \varphi (t)}$ , определённое на интервале ${\displaystyle J^{+}=[t_{0};\infty )}$ , таком, что ${\displaystyle J^{+}\subset I}$ и будем называть его невозмущённым решением.

Устойчивость по Ляпунову

Невозмущённое решение ${\displaystyle \varphi (t)}$ системы (1) называется устойчивым по Ляпунову , если для любых ${\displaystyle t_{0}>\tau }$ и ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$ , зависящее только от ${\displaystyle \varepsilon }$ и ${\displaystyle t_{0}}$ и не зависящее от ${\displaystyle t}$ , такое, что для всякого ${\displaystyle x_{0}}$ , для которого ${\displaystyle \|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta }$ , решение ${\displaystyle x}$ системы (1) с начальными условиями ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ продолжается на всю полуось ${\displaystyle J^{+}}$ и для любого ${\displaystyle t\in J^{+}}$ удовлетворяет неравенству ${\displaystyle \|x(t)-\varphi (t)\|<\varepsilon }$ .

Символически это записывается так:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\forall t_{0}\in I\ \exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0:\ \forall x_{0}:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|<\varepsilon .}$

Невозмущённое решение ${\displaystyle \varphi (t)}$ системы (1) называется неустойчивым, если оно не является устойчивым по Ляпунову, то есть

${\displaystyle \exists \varepsilon >0,\exists t_{0}\in I:\forall \delta >0\ \exists x_{0}:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta ,\exists t_{*}>t_{0}:\|x(t_{*},t_{0},x_{0})-\varphi (t_{*})\|=\varepsilon .}$

Равномерная устойчивость

Невозмущённое решение ${\displaystyle \varphi (t)}$ системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если ${\displaystyle \delta }$ из предыдущего определения зависит только от ${\displaystyle \varepsilon }$ :

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0:\ \forall x_{0},\forall t_{0}\in I:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|<\varepsilon .}$

Асимптотическая устойчивость

Невозмущённое решение ${\displaystyle \varphi (t)}$ системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и является притягивающим, то есть выполняется условие ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|=0}$ для любого решения ${\displaystyle x(t)}$ с начальными данными ${\displaystyle x_{0}}$ , для которых выполняется неравенство ${\displaystyle ||x_{0}-\varphi (t_{0})||<\delta _{0}}$ при некотором ${\displaystyle \delta _{0}}$ .

Существуют определённые разновидности асимптотической устойчивости . Невозмущённое решение ${\displaystyle \varphi (t)}$ системы (1) называется:

• эквиасимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее ( ${\displaystyle x(t)}$ не зависит от ${\displaystyle x_{0}}$ ).
• равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее ( ${\displaystyle x(t)}$ не зависит от ${\displaystyle t_{0}}$ и ${\displaystyle x_{0}}$ ).
• асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее (отсутствует ограничение на ${\displaystyle x_{0}}$ ).
• равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно и глобальнопритягивающее.

Замечание

В качестве невозмущённого решения системы можно рассматривать тривиальное решение ${\displaystyle x(t)\equiv 0}$ , что делает условия устойчивости более простыми. Для этого необходимо ввести сдвигающую замену ${\displaystyle y=x-\varphi }$ и рассматривать систему

${\displaystyle {\dot {y}}=g(t,y),}$

где ${\displaystyle g(t,y)=f(t,y+\varphi (t))-f(t,\varphi (t)).}$

Примечания

Литература

• Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений (рус.) . — М. : Издательство иностранной литературы , 1954.
• Четаев, Н. Г. Устойчивость движения (рус.) . — 4-е изд., испр.. — М. : Наука , 1990. — 176 с. — ISBN 5-02-014018-X .
• Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения (рус.) . — М. : Физматгиз , 1959.
• Малкин И. Г. Теория устойчивости движения (рус.) . — 2-е изд., испр.. — М. : Наука , 1966.
• Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости (рус.) . — М. : Наука , 1967. — 472 с.
• Афанасьев В. Н. , Колмановский В. Б. , Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления (рус.) . — 3-е изд., испр. и доп.. — М. : Высшая школа , 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X .
• Филиппов, А. Ф. . — Изд. 2-е. — Эдиториал УРСС, 2007. — 240 с. — ISBN 978-5-484-00786-8 .
• Руш, Н. , Абетс, П. , Лалуа, М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М. : Мир , 1980.

См. также

• Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия
• Функция Ляпунова