В физике кругово́е движе́ние — это вращательное движение материальной точки или тела , когда ось вращения в выбранной системе отсчёта неподвижна и не проходит через центр тела. В этом случае траектория точки или тела является окружностью , круговой орбитой . Оно может быть равномерным (с постоянной угловой скоростью) или неравномерным (с переменной угловой скоростью ). Вращение трёхмерного тела вокруг неподвижной оси включает в себя круговое движение каждой его части. Мы можем говорить о круговом движении объекта только если можем пренебречь его размерами, так что мы имеем движение массивной точки на плоскости. Например, центр масс тела может совершать круговое движение.

Примеры кругового движения: искусственный спутник на геосинхронной орбите , камень на верёвке, вращающийся по кругу (см. метание молота ), болид, совершающий поворот, электрон, движущийся перпендикулярно постоянному магнитному полю , зубчатое колесо , вращающееся внутри механизма.

Круговое движение является ускоренным, даже если происходит с постоянной угловой скоростью, потому что вектор скорости объекта постоянно меняет направление. Такое изменение направления скорости вызывает ускорение движущегося объекта центростремительной силой , которая толкает движущийся объект по направлению к центру круговой орбиты. Без этого ускорения объект будет двигаться прямолинейно в соответствии с законами Ньютона .

Формулы для равномерного кругового движения

Для движения по кругу радиуса R длина окружности будет C = 2π R . Если период вращения есть T , то угловая скорость вращения ω будет равна:

• ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}\ .}$

Скорость движения объекта равна

• ${\displaystyle v\,={\frac {2\pi R}{T}}=\omega R}$

Угол поворота θ за время t равен:

• ${\displaystyle \theta =2\pi {\frac {t}{T}}=\omega t}$

Ускорение, вызванное изменением направления скорости, можно найти, если заметить, что скорость совершает полное изменение направления за то же самое время T , за которое объект делает один оборот. Тогда вектор скорости проходит путь длиной 2π v каждые T секунд, или:

• ${\displaystyle a\,={\frac {2\pi v}{T}}=\omega ^{2}\ R\ ,}$

и направлено радиально к центру .

Взаимосвязи векторов показаны на рис. 1. Ось вращения изображена вектором Ω , перпендикулярно плоскости орбиты и имеет величину ω = d θ / dt . Направление вектора Ω выбрано в соответствии с правилом правой руки . По этому соглашению скорость это векторное произведение вида:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {r} \ ,}$

и есть вектор, перпендикулярный как Ω так и r ( t ), направленный по касательной к орбите и имеющий величину ω R . Аналогично, ускорение определяется как:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} \ ,}$

Оно представляет собой вектор, перпендикулярный как Ω так и v ( t ), имеющий величину ω | v | = ω ² R и направление строго противоположно к r ( t ).

Постоянная скорость

В простейшем случае скорость, масса и радиус являются постоянными.

Рассмотрим тело массой один килограмм , движущееся по кругу радиуса один метр с угловой скоростью один радиан в секунду .

• Скорость : один метр в секунду;
• Радиальное ускорение : один метр в секунду за секунду;
• Ускорение сообщается центростремительной силой один килограмм на метр в секунду за секунду, т. е. один ньютон ;
• Импульс тела: один ${\displaystyle kg\cdot m\cdot s^{-1}}$
• Момент инерции : один ${\displaystyle kg\cdot m^{2}}$
• Момент импульса : один ${\displaystyle kg\cdot m^{2}\cdot s^{-1}}$
• Кинетическая энергия : ${\displaystyle 1/2}$ джоуля ;
• Длина окружности орбиты : ${\displaystyle 2\pi ~(\sim 6.283)}$ метров;
• Период движения: ${\displaystyle 2\pi }$ секунд на один оборот ;
• Частота : ${\displaystyle (2\pi )^{-1}}$ герц ;
• С точки зрения квантовой механики система находится в возбужденном состоянии с квантовым числом ${\displaystyle \sim 9.48\cdot 10^{35}}$

Теперь рассмотрим тело массы ${\displaystyle m}$ , движущееся по кругу радиуса ${\displaystyle r}$ с угловой скоростью ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle ;}$

• Скорость: ${\displaystyle v=r\cdot w}$
• Радиальное ускорение: ${\displaystyle a=r\cdot w^{2}=r^{-1}\cdot v^{2}}$
• Центростремительная сила: ${\displaystyle F=m\cdot a=r\cdot m\cdot w^{2}=r^{-1}\cdot m\cdot v^{2}}$
• Импульс тела: ${\displaystyle p=m\cdot v=r\cdot m\cdot w}$
• Момент инерции: ${\displaystyle I=r^{2}\cdot m}$
• Момент импульса: ${\displaystyle L=r\cdot m\cdot v=r^{2}\cdot m\cdot w=I\cdot w}$
• Кинетическая энергия: ${\displaystyle E=2^{-1}\cdot m\cdot v^{2}=2^{-1}\cdot r^{2}\cdot m\cdot w^{2}=(2\cdot m)^{-1}\cdot p^{2}=2^{-1}\cdot I\cdot w^{2}=(2\cdot I)^{-1}\cdot L^{2}}$
• Длина окружности орбиты : ${\displaystyle 2\cdot \pi \cdot r}$
• Период движения: ${\displaystyle T=2\cdot \pi \cdot w^{-1}}$
• Частота: ${\displaystyle f=T^{-1}}$ . (Вместо буквы ${\displaystyle f}$ частота часто обозначается греческой буквой ${\displaystyle \nu }$ , которая, однако, часто неотличима от буквы ${\displaystyle v}$ , используемой здесь для обозначения скорости);
• Квантовое число: ${\displaystyle J=2\cdot \pi \cdot L\cdot \hbar ^{-1}}$ где ${\displaystyle \hbar }$ - Постоянная Планка

Переменная скорость

В круговом движении полную силу, приложенную к объекту, можно разложить на две составляющие: центростремительную, удерживающую тело на круговой орбите (т. е. меняющую направление вектора скорости), и тангенциальную, направленную по касательной к окружности и вызывающую изменение длины вектора скорости (т. е. меняющую скорость вращения тела по орбите). Величина центростремительной составляющей зависит от мгновенной скорости.

Для примера, когда камень привязан к концу верёвки, то он подвергается воздействию некоторой силы, которую мы можем разложить на радиальную и боковую составляющие. Радиальная направлена к центру (вовнутрь) окружности и вызвана тем, что веревка сопротивляется удлинению. А боковая составляющая определяет будет вращение камня ускоряться или замедляться.

Описание кругового движения в полярных координатах

Траектория кругового движения тела может быть описана в полярной системе координат значениями фиксированного расстояние R от центра орбиты, являющейся точкой отсчёта, и угла ориентации θ ( t ) от некоторого фиксированного направления (рис. 2). Вектор перемещения ${\displaystyle {\stackrel {\vec {r}}{}}}$ является радиальным вектором от полюса до текущего положения:

${\displaystyle {\vec {r}}=R{\hat {u}}_{R}(t)\ ,}$

где ${\displaystyle {\hat {u}}_{R}(t)}$ — единичный вектор , параллельный радиусу в момент t и направленный от полюса. Удобно также ввести единичный вектор, ортогональный к ${\displaystyle {\hat {u}}_{R}}$ , который назовём ${\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }}$ . Обычно его ориентация выбирается по направлению движения вдоль орбиты.

Скорость является производной перемещения по времени:

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(t)={\frac {dR}{dt}}{\hat {u}}_{R}+R{\frac {d{\hat {u}}_{R}}{dt}}\ .}$

Поскольку радиус окружности является константой, радиальная составляющая скорости равна нулю. Единичный вектор ${\displaystyle {\hat {u}}_{R}}$ имеет инвариантное по времени значение, так что при изменении времени его конец всегда лежит на окружности единичного радиуса, а угол θ такой же, как у ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ . Если произошло малое приращение угла d θ за время dt , тогда ${\displaystyle {\hat {u}}_{R}}$ описывает дугу единичной окружности со значением d θ (см. единичную окружность слева на рис. 2). Следовательно:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {u}}_{R}}{dt}}={\frac {d\theta }{dt}}{\hat {u}}_{\theta }\ ,}$

где направление изменения должно быть перпендикулярно к ${\displaystyle {\hat {u}}_{R}}$ (или, другими словами, вдоль ${\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }}$ ), поскольку любое изменение d ${\displaystyle {\hat {u}}_{R}}$ в направлении ${\displaystyle {\hat {u}}_{R}}$ будет изменять величину ${\displaystyle {\hat {u}}_{R}}$ . Знак положительный, потому что увеличение d θ влияет на объект и ${\displaystyle {\hat {u}}_{R}}$ передвигается в направлении ${\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }}$ . Следовательно, скорость становится:

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(t)=R{\frac {d{\hat {u}}_{R}}{dt}}=R{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {u}}_{\theta }\ =R\omega {\hat {u}}_{\theta }\ .}$

Ускорение тела также можно разложить на радиальную и тангенциальную составляющие. Ускорение есть производная скорости по времени:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d}{dt}}{\vec {v}}={\frac {d}{dt}}\left(R\ \omega \ {\hat {u}}_{\theta }\ \right)\ .}$

${\displaystyle =R\left({\frac {d\omega }{dt}}\ {\hat {u}}_{\theta }+\omega \ {\frac {d{\hat {u}}_{\theta }}{dt}}\right)\ .}$

Производная по времени от ${\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }}$ находится таким же путём, как и для ${\displaystyle {\hat {u}}_{R}}$ . Опять же, ${\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }}$ есть единичный вектор, и его конец расположен на единичной окружности, а угол равен π/2 + θ. Следовательно, приращение угла d θ вектора ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ перемещает ${\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }}$ по дуге на величину d θ, и поскольку ${\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }}$ перпендикулярен к ${\displaystyle {\hat {u}}_{R}}$ , мы имеем:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {u}}_{\theta }}{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {u}}_{R}=-\omega {\hat {u}}_{R}\ ,}$

где отрицательный знак необходим, чтобы сохранить ${\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }}$ перпендикулярным к ${\displaystyle {\hat {u}}_{R}}$ . (Иначе угол между ${\displaystyle {\hat {u}}_{\theta }}$ и ${\displaystyle {\hat {u}}_{R}}$ будет уменьшаться с увеличением d θ, см. единичную окружность слева на рис. 2). Следовательно, ускорение равно:

${\displaystyle {\vec {a}}=R\left({\frac {d\omega }{dt}}\ {\hat {u}}_{\theta }+\omega \ {\frac {d{\hat {u}}_{\theta }}{dt}}\right)}$

${\displaystyle =R{\frac {d\omega }{dt}}\ {\hat {u}}_{\theta }-\omega ^{2}R\ {\hat {u}}_{R}\ .}$

Центростремительное ускорение — это радиальная составляющая, направленная по радиусу вовнутрь:

${\displaystyle {\vec {a}}_{R}=-\omega ^{2}R{\hat {u}}_{R}\ ,}$

тогда как тангенциальная составляющая изменяет значение скорости:

${\displaystyle {\vec {a}}_{\theta }=R{\frac {d\omega }{dt}}\ {\hat {u}}_{\theta }={\frac {dR\omega }{dt}}\ {\hat {u}}_{\theta }={\frac {d|{\vec {v}}|}{dt}}\ {\hat {u}}_{\theta }\ .}$

Описание кругового движения в комплексных числах

Круговое движение можно описать с использованием комплексных чисел . Пусть ${\displaystyle x}$ — ось вещественных чисел, а ${\displaystyle y}$ — ось мнимых чисел. Тогда положение тела может быть задано в виде комплексного "вектора" ${\displaystyle z}$ :

${\displaystyle z=x+iy=R(\cos \theta +i\sin \theta )=Re^{i\theta }\ ,}$

где ${\displaystyle i}$ есть мнимая единица , и

${\displaystyle \theta =\theta (t)\ ,}$

есть угол комплексного вектора по отношению к вещественной оси как функция времени t . Поскольку радиус есть константа:

${\displaystyle {\dot {R}}={\ddot {R}}=0\ ,}$

где точка означает дифференциал по времени. В этих обозначениях скорость имеет вид :

${\displaystyle v={\dot {z}}=R{\frac {d}{dt}}\left(i\theta \right)e^{i\theta }=iR{\dot {\theta }}e^{i\theta }=i\omega \cdot Re^{i\theta }=i\omega z}$

а ускорение:

${\displaystyle a={\dot {v}}=i{\dot {\omega }}z+i\omega {\dot {z}}=(i{\dot {\omega }}-\omega ^{2})z}$

${\displaystyle =\left(i{\dot {\omega }}-\omega ^{2}\right)Re^{i\theta }}$

${\displaystyle =-\omega ^{2}Re^{i\theta }+{\dot {\omega }}e^{i{\frac {\pi }{2}}}Re^{i\theta }\ .}$

Первое слагаемое направлено против вектора перемещения, а второе — перпендикулярно ему, как и в предыдущих результатах.

Ссылки

• Круговое движение
• - глава из онлайн-учебника

См. также

• Момент импульса
• Уравнения движения
• Математический маятник
• Центростремительная сила
• Сила инерции