Критерий подобия — безразмерная величина , составленная из размерных физических параметров , определяющих рассматриваемое физическое явление. Равенство всех однотипных критериев подобия для двух физических явлений и систем — необходимое и достаточное условие их физического подобия .

Критерии подобия, представляющие собой отношения одноимённых физических параметров системы (например, отношения длин), называются тривиальными и при установлении определяющих критериев подобия обычно не рассматриваются: равенство их для двух систем является определением физического подобия. Нетривиальные безразмерные комбинации, которые можно составить из определяющих параметров, и представляют собой критерии подобия.

Например :

«Из каждых 10 яблок 1 гнилое» — отношение количества гнилых яблок к собранным (1 яблоко)/(10 яблок) = 0,1 = 10%, и является тривиальным безразмерным числом.

Всякая новая комбинация из критериев подобия также является критерием подобия, что даёт возможность в каждом конкретном случае выбрать наиболее удобные и характерные критерии. Число определяющих нетривиальных критериев подобия меньше числа определяющих физических параметров с различными размерностями на величину, равную числу определяющих параметров с независимыми размерностями (см. « Пи-теорема »).

Если известны уравнения, описывающие рассматриваемое физическое явление, то критерии подобия для этого явления можно получить, приводя уравнения к безразмерному виду путём введения некоторых характерных значений для каждого из определяющих физических параметров, входящих в систему уравнений. Тогда критерии подобия определятся как безразмерные коэффициенты , появляющиеся перед некоторыми из членов новой, безразмерной системы уравнений . Когда уравнения , описывающие физическое явление , неизвестны, критерии подобия отыскиваются при помощи анализа размерностей, определяющих физические параметры (см. Анализ размерности ).

Примеры

Критерий в теоретической механике

Критерий подобия механического движения получается из уравнения, выражающего второй закон Ньютона , и называется числом Ньютона :

${\displaystyle {\text{Ne}}={\frac {F\cdot t^{2}}{m\cdot l}},}$

где

${\displaystyle F}$ — действующая на тело сила,

${\displaystyle m}$ — его масса ,

${\displaystyle t}$ — время,

${\displaystyle l}$ — характерный линейный размер.

Критерии в теории упругости

При изучении упругих деформаций конструкции под воздействием внешних сил основными критериями подобия являются коэффициент Пуассона для материала конструкции:

${\displaystyle \nu =\left|{\frac {\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{2}}}\right|}$

и критерии

${\displaystyle {\frac {\rho \cdot g\cdot l}{E}},\quad {\frac {F}{E\cdot l^{2}}},}$

где

${\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {\Delta L}{L}}}$ — относительная продольная деформация ,

${\displaystyle \varepsilon _{2}={\frac {\Delta d}{d}}}$ — относительная поперечная деформация,

${\displaystyle E}$ — модуль Юнга ,

${\displaystyle \rho }$ — плотность материала конструкции,

${\displaystyle F}$ — характерная внешняя сила,

${\displaystyle g}$ — ускорение силы тяжести.

Критерии подобия в гидро- и газодинамике

В гидро- и газодинамике важнейшими параметрами подобия являются:

• Число Рейнольдса :

${\displaystyle {\text{Re}}={\frac {\rho \cdot u\cdot l}{\mu }}={\frac {ul}{\nu }}.}$

• Число Маха :

${\displaystyle {\text{M}}={\frac {u}{a^{*}}}.}$

• Число Фруда :

${\displaystyle {\text{Fr}}={\frac {u^{2}}{g\cdot l}}.}$

В этих выражениях

${\displaystyle \rho }$ — плотность жидкости или газа ,

${\displaystyle l}$ — характерный размер,

${\displaystyle u}$ — скорость течения,

${\displaystyle \mu }$ — динамический коэффициент вязкости ,

${\displaystyle \nu =\mu /\rho }$ — кинематический коэффициент вязкости ,

${\displaystyle a^{*}}$ — местная скорость распространения звука в движущейся среде.

Каждый из параметров подобия имеет определенный физический смысл как величина, пропорциональная отношению однотипных физических величин. Так, число ${\displaystyle {\text{Re}}}$ характеризует отношение инерционных сил при движении жидкости или газа к силам вязкости, число Маха — определяет отношение скорости течения к скорости звука, а число ${\displaystyle {\text{Fr}}}$ — отношение инерционных сил к силам тяжести.

Основными параметрами подобия процессов теплопередачи между жидкостью (газом) и обтекаемым телом являются

• число Прандтля ${\displaystyle {\text{Pr}}={\frac {\nu }{a}}={\frac {\mu \cdot c_{p}}{\lambda }},}$
• число Нуссельта ${\displaystyle {\text{Nu}}={\frac {\alpha \cdot l}{\lambda }},}$
• число Грасгофа ${\displaystyle {\text{Gr}}={\frac {b\cdot g\cdot l^{3}\cdot \Delta T}{\nu ^{2}}},}$
• число Пекле ${\displaystyle {\text{Pe}}={\frac {u\cdot l}{a}},}$
• число Стэнтона ${\displaystyle {\text{St}}={\frac {\alpha }{\rho c_{p}u}}.}$

Здесь ${\displaystyle \alpha }$ — ^{[ источник не указан 4833 дня ]} , ${\displaystyle \lambda }$ — коэффициент теплопроводности, ${\displaystyle c_{p}}$ — удельная теплоёмкость жидкости или газа при постоянном давлении, ${\displaystyle a=\lambda /(\rho c_{p})}$ — коэффициент температуропроводности , ${\displaystyle b}$ — коэффициент объёмного расширения , ${\displaystyle \Delta T}$ — разность температур поверхности тела и жидкости (газа). Два последних числа связаны с предыдущими соотношениями: Ре = Pr·Re, St = Nu/Pe.

Литература

• Веников В. А. Теория подобия и моделирование применительно к задачам электроэнергетики. — М., 1966;
• Кирпичев М. В. Теория подобия — М., 1953;
• Дьяконов Г. К. Вопросы теории подобия в области физико-химических процессов. — М.-Л., 1956.
• Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. — 7 изд. — М., 1972;
• Филиппов Л. П. Теория термодинамического подобия. — М., 1985;
• Эйгенсон Л. С. Моделирование. — М., 1952;