Неопределённость измерения ( англ. Measurement uncertainty ) — параметр, относящийся к результату измерения и характеризующий разброс значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине.

Понятие неопределенности в современной метрологии регламентируется вышедшим в 1993 году "Руководством по выражению неопределенности" , фактически ставшим международным стандартом. В противовес классической теории точности , в руководстве не рассматриваются понятия истинного, действительного значений измеряемой величины и погрешности измерения . Вместо этого количественно оценивается «сомнение в измеряемой величине». Как и в классической теории точности в качестве характеристик неопределенности используются среднее квадратическое отклонение и доверительный интервал .

Необходимо четко разделять понятия погрешности измерения и неопределенности измерения. Погрешность оценивает отклонение измеренной величины от её истинного значения, математическим ожиданием при оценке погрешности чаще всего является достоверно известная величина ( эталон) . Неопределенность ставит под сомнение достоверность результатов измерения как таковых и математическим ожиданием при ее оценки является среднее арифметическое значение определяемой величины, которое может иметь значительное отклонение от истинного значения.

Неопределенность чаще всего встречается в виде расширенной неопределенности ±U , которая является произведением коэффициента охвата k и суммарной стандартной неопределенности u _C . Суммарная стандартная неопределенность u _C − суммарный вклад оценки (неопределенностей) типа А и В ( u _А , u _B ).

Классификация неопределенностей измерений

Неопределенность по типу А ( u _А )

Неопределенность по типу А или оценка по типу А − это оценка результатов измерений выходной величины ( Y = f (X _i ) ) путем их статистической обработки, включающей в себя расчет среднего значения измеренной величины, выборочной дисперсии , выборочного СКО и выборочного СКО среднего значения. Результатом такой оценки является дисперсия типа А ( u _А ² ) и стандартная неопределенность типа А ( u _А )

Неопределенность по типу В ( u _В )

Неопределенность по типу В или оценка по типу В − это оценка всех возможных сторонних факторов входной величины ( x _i ), для выходной величины ( X _i ) которые небыли учтены при статистической обработке массива данных величины Y . Оценка по типу В включает в себя:

• анализ данных предшествующих измерений;
• анализ сведений о свойствах материалов и характеристик приборов;
• сбор информации о неопределенностях и погрешностях измерений используемых средств измерений, вспомогательного оборудования.

Лучшим методом для оценки неопределенности по типу В является построение диаграммы "Рыбьей кости" , где головой будет полная оценка всевозможных сторонних факторов на X _i . Результатом такой оценки будет дисперсия типа В ( u _В ² ) и стандартная неопределенность типа В ( u _В )

Суммарная стандартная неопределенность ( u _C )

Суммарная стандартная неопределенность в самом простом случае это положительный квадратный корень из сумм дисперсий по типу А и В, если пренебречь оценкой вклада каждой неопределенности в суммарную и корреляцией входных величин.

Расширенной неопределенности ( U )

Расширенная неопределенность − это способ выражения суммарной стандартной неопределенности ( u _C ) с указанием охватывающего интервала, в пределах которого, как можно ожидать, будет находиться большая часть распределения значений, которые обоснованно могут быть приписаны измеряемой величине. Расширенную неопределенность получают умножением суммарной стандартной неопределенности ( u _C ) на коэффициент охвата ( k ). Чаще всего k = 2.

Оценка неопределенности измерений

Основными этапами оценки неопределенности являются формулирование и вычисление, причем последнее состоит из распространения и обобщения. Этап формулирования включает

• определение выходной величины Y (измеряемой величины),
• определение входных величин X ₁ ,...,X _i , от которых зависит Y ,
• разработка модели измерений, как Y относиться к входным величинам X ₁ ,...,X _i ,
• на основе имеющихся знаний присваивается распределение вероятностей — гауссово, прямоугольное и т.д. — входным величинам X ₁ ,...,X _i

Этап вычисления состоит в распространении распределений вероятностей для входных величин по модели измерения для получения распределения вероятностей для выходной величины Y и суммировании с использованием этого распределения для получения математическое ожидания Y , стандартного отклонения Y , принимаемое за стандартную неопределенность

Оценка неопределенности типа А

Статистическая

Оценка неопределенности типа А (также известная как случайная оценка неопределенности или статистическая оценка неопределенности) используется для оценки случайных ошибок и вариабельности в серии измерений. Этот тип оценки основан на статистических методах, таких как анализ стандартных отклонений, анализ повторных измерений или анализ остатков.

В отличие от оценки неопределенности типа В, которая фокусируется на систематических ошибках и источниках неопределенности, оценка типа А учитывает случайные ошибки и вариации в измерениях. Это делает ее полезной для измерения точности и воспроизводимости экспериментальных данных, особенно когда измерения проводятся в разных условиях или разными исследователями. Процесс оценки неопределенности типа А обычно включает следующие шаги:

• Сбор серии измерений для исследуемой переменной
• Расчет среднего значения для серии измерений
• Дисперсии для серии измерений
• Стандартного отклонения для серии измерений

Априорная

Априорная оценка неопределенности типа А - это оценка систематической неопределенности, основанная на предварительных знаниях и информации о системе или процессе. Она может включать в себя анализ предыдущих измерений, экспертные оценки, статистические модели и другие источники информации. Априорная оценка типа А может быть полезна для предварительной оценки систематической неопределенности и определения необходимых измерений или экспериментов для ее уменьшения. Однако, стоит помнить, что эта оценка может быть неполной или неточной. Априорная оценка неопределенности типа А производиться когда количество наблюдений (измерений) менее 10

Оценка неопределенности типа В

Оценка неопределенности типа В (также известная как систематическая оценка неопределенности) - это метод измерения и оценки неопределенности в научных измерениях и экспериментах. Этот тип оценки неопределенности учитывает систематические ошибки и источники неопределенности, которые могут повлиять на результаты измерений.

Оценка неопределенности типа В обычно включает в себя следующие шаги:

• Идентификация всех возможных источников систематической ошибки или неопределенности. Эти источники могут включать в себя оборудование, методы измерения, человеческий фактор и т.д.
• Оценка величины каждого источника неопределенности, используя различные методы, такие как анализ аналогичных измерений, экспертные оценки или статистические модели.
• Умножение каждой оценки величины на соответствующий коэффициент чувствительности, чтобы получить вклад каждого источника в общую неопределенность измерения.

Важно отметить, что оценка неопределенности типа В может быть сложной и трудоемкой задачей, требующей тщательного анализа всех возможных источников ошибок и неопределенности.

Неопределенность градуировочной зависимости

Градуировочный график - это зависимость между значениями аналитического сигнала и концентрациями или активностями определяемого вещества. Оценка неопределенности такого графика включает в себя несколько компонентов:

• Погрешность при подготовке образцов: ошибки при взвешивании, измерении объемов, приготовлении стандартных растворов и т.д.
• Случайные погрешности: флуктуации аналитического сигнала из-за случайных факторов (например, нестабильности измерительного оборудования).
• Систематические погрешности: ошибки, связанные с неправильным выбором метода анализа, неадекватными условиями проведения анализа и другими неслучайными факторами.
• Неопределенность в определении калибровочных точек: ошибки в измерениях концентраций или активностей стандартных образцов.

Общая оценка неопределенности строится на основе анализа всех этих компонентов и может быть выражена в виде стандартного отклонения, доверительного интервала или другого подходящего статистического параметра. Подробнее об этом рассказывает руководство Eurachem/CITAC SG4

Коэффициент чувствительности

Коэффициент чувствительности - это параметр, который показывает, насколько сильно изменение одной величины влияет на другую величину. В контексте оценки неопределенности, коэффициент чувствительности используется для учета влияния различных источников неопределенности на итоговый результат измерения. Неопределенности могут быть прямыми и косвенными. Прямые неопределенности возникают непосредственно из результатов измерений, таких как погрешность измерительного прибора или ошибка оператора. Косвенные неопределенности возникают из-за обработки результатов измерений и могут включать в себя неопределенности связанные с математическими операциями, такими как дифференцирование или интегрирование.

Коэффициент чувствительности для прямых неопределенностей может быть рассчитан как отношение изменения результата измерения к изменению входной величины. Например, если результат измерения равен квадрату входной величины, то коэффициент чувствительности будет равен 2. Для косвенных неопределенностей коэффициент чувствительности может быть рассчитан через производные функции, описывающей связь между входными и выходной величинами.

Корреляция входных величин

Корреляция входных величин может влиять на оценку неопределенности несколькими способами. Во-первых, она может влиять на коэффициент чувствительности, так как он зависит от отношения изменения результата к изменению входных величин. Если входные величины коррелированны, то изменение одной величины может привести к изменению другой, что в свою очередь может повлиять на результат измерения. Во-вторых, корреляция может влиять на выбор методов оценки неопределенности. Некоторые методы, такие как метод Монте-Карло, могут быть более эффективными при наличии корреляции между входными величинами. Другие методы, такие как метод стандартных отклонений, могут давать менее точные результаты при наличии корреляции.

Корреляция входных величин может повлиять на оценку полной неопределенности. Если корреляция положительная, то это может привести к увеличению общей неопределенности. Если же корреляция отрицательная, то общая неопределенность может быть уменьшена. Таким образом, корреляция входных величин является важным фактором при оценке неопределенности.

Суммарная стандартная неопределенность

Суммарная стандартная неопределенность - это оценка неопределенности, возникающая из-за сложения нескольких источников неопределенности. Она может быть рассчитана как корень из суммы квадратов отдельных стандартных неопределенностей.

Суммарная стандартная неопределенность часто используется при оценке полной неопределенности измерения, включая как систематические, так и случайные ошибки. Она позволяет получить общую оценку неопределенности, которая может быть использована для определения точности и надежности экспериментальных результатов.

Расширенная неопределенность

Оценка расширенной неопределенности используется для учета суммарной стандартной неопределенности и коэффициента охвата в оценке полной неопределенности измерения. Она может быть вычислена как произведение суммарной стандартной неопределенности на коэффициент охвата.

Расширенная неопределенность позволяет получить более точную оценку полной неопределенности и характеризует разброс распределений возможных значений измеряемой величины, которая может использоваться для определения точности и надежности экспериментальных результатов.

Выражение неопределенности

Общие принципы выражения неопределенности

«Руководство по выражению неопределенности» устанавливает несколько способов записи величины вместе с её неопределенностью:

• Явное указание суммарной стандартной неопределенности. Например, m _S = 100,02147 г со стандартной неопределённостью u _С = 0,35 мг.
• Запись в скобках суммарной стандартной неопределенности младших разрядов результата: m _S = 100,02147(35) г.
• Запись суммарной стандартной неопределенности в скобках: m _S = 100,02147(0,00035) г.
• Запись со знаком «±»: 100,02147±0,00035 г. Такая запись не рекомендуется ГОСТ 34100-2017, так как без дополнительных пояснений может быть неверно интерпретирована.
• Запись с подробным пояснением: «100,02147±0,00079 г., где число, стоящее после знака "±", — расширенная неопределенность U = ku _С , полученная для u _С = 0,35 мг и k = 2,26, соответствующего уровню доверия 95% для t-распределения c 9 степенями свободы».

Частный пример выражения неопределенности

Исследователь №1 определил содержание общего железа в питьевой воде по ГОСТ 4011-72 с оценкой неопределенности, предоставив результат в виде: C _Fe ±U = (1,98±1,56)мг/дм ³ (k=2; p=0.95). Исследователь №2 провел испытание идентичного образца и определил, что C _Fe ±U = (1,98±0,45)мг/дм ³ (k=2; p=0.95). Оба исследователя провели оценку неопределенности, но кто из них в полной мери провел оценку типа В? Для того что бы в полной мере быть уверенным, что в оценку неопределенности включены все возможные влияния на измеряемую величину величину, необходимо составить бюджет неопределенности в котором будут отражены учтенные влияния и их вклад в суммарную стандартную неопределенность.

Бюджет неопределенности на примере определения концентрации общего железа в питьевой воде ( Y = f (X ₁ ,X ₂ ,X ₃ ), где Y = C _Fe мг/дм ³ )

№ п/п	Входные величины	Единицы измерения	Измеренное значение величины	Погрешность измерения	Тип распределения	Тип неопределенности	Стандартная неопределенность ( u )	Коэффициент чувствительности ( d f/ d x i )	Вклад неопределенности в суммарную стандартную неопределенность ( u ⋅ d f/ d x i ), мг/дм 3	Суммарная стандартная неопределенность ( u C ), мг/дм 3	Относительный вклад неопределенности ( u ) в суммарную стандартную неопределенность, %
1	Измерение концентрации железа в пробе (Y)	мг/дм 3	1.978	−	нормальное	А	0,227	1,00	0,227	0,781	29,1
2	Неопределенность градуировочного график (X 1 )	мг/дм 3	0.396	−	нормальное	В	0,022	5,00	0,556		71,2
3	Погрешность разбавления аликвоты (X 3 )	мл	10	0.07	треугольное	В	0,029	−0,198	0,001		0,1

По бюджету неопределенности исследователя №1 учел неопределенность входной величины Х1 , а исследователь №2 при оценки неопределенности измерения вероятней всего не стал проводить оценку по типу В и прировнял суммарную стандартную неопределенность ( u _C ) к неопределенности по типу А ( u _A ), что является не недопустимым подходом в оценки неопределенности.

См. также

Примечания

Литература

• Фридман А.Э. Основы метрологии. Современный курс. — Санкт-Петербург: НПО «Профессионал», 2008. — 284 с.
• / Bureau International des Poids et Mesures. — 2008. — 134 p. от 3 мая 2020 на Wayback Machine
• Mathieu ROUAUD. . — 2013. от 3 апреля 2017 на Wayback Machine
• Editor: S.R. Ellison, M. Rosslein, A. Williams. Eurachem/CITAC Guide CG4. Quantifying Measurement Uncertainty in Analytical Measurement. Third Edition. — UK: QUAM.2000P1, 2012. — 133 с.