Interested Article - Простой идеал

Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец .

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры , использующих понятие простого идеала, — локализация кольца .

Определение

Идеал $I$ в кольце $A$ называется простым , если факторкольцо $A/I$ по нему является областью целостности .

Равносильная формулировка: если $I\neq A$ и из $ab\in I$ следует $a\in I$ или $b\in I$ , то $I$ являет собой простой идеал.

Связанные понятия

Множество всех простых идеалов кольца $A$ образует спектр кольца $\mathrm {Spec} A$ . В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец , превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии .

Свойства

Максимальный идеал $I$ кольца $A$ (то есть собственный идеал , не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.

Доказательство

Действительно, пусть $ab\in I$ , $a\notin I$ . Рассмотрим идеал $J=I+aA$ . Поскольку $I$ максимален, либо $J=I$ (что невозможно, поскольку $a\notin I$ ), либо $J=A$ . Но тогда $1\in I+aA$ , и, следовательно, $b\in bI+baA=I$ .

Идеал $I$ прост тогда и только тогда, когда элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему . Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце $A$ с единицей задан идеал $I$ , не пересекающийся с мультипликативной системой $S_{0}$ . Тогда существует простой идеал $I_{0}$ , содержащий $I$ и не пересекающийся с системой $S_{0}$ . ^{[

источник не указан 3837 дней

]}
Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал $I$ , совпадает с радикалом идеала $I$ . Радикал идеала $I$ — это множество ${\sqrt {I}}=\{f\in A:\,\exists n\in \mathbb {N} \,\,f^{n}\in I\}$ . Оно также является идеалом кольца $A$ .

Доказательство

Пусть $J$ — простой идеал, содержащий $I$ . Если элемент $f$ принадлежит радикалу ${\sqrt {I}}$ , то некоторая его степень принадлежит идеалу $I\subset J$ , поэтому $f$ не может принадлежать дополнению к $J$ , так как это дополнение — мультипликативная система (если оно содержит $f$ , то содержит и все его степени). Значит, $f$ принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал $I$ .
Обратно: пусть $f$ не принадлежит радикалу ${\sqrt {I}}$ . Тогда множество всех его степеней — мультипликативная система, не пересекающаяся с $I$ . Согласно предыдущей теореме, существует простой идеал, содержащий $I$ и не содержащий ни одну из степеней элемента $f$ . Следовательно, $f$ не принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал $I$ .

Примеры

В кольце целых чисел $A=\mathbb {Z}$ каждый простой идеал имеет вид $pA$ , где $p$ — простое число .

Доказательство

Пусть $a\in I$ — наименьшее положительное число в $I$ . Возьмем произвольное $b\in I$ и поделим с остатком на $a$ : $\quad b=a*g+r$ , где $0\leq r<a$ . В силу выбора $a$ , имеем $r=0$ , т.е. все элементы $I$ делятся на $a$ . Таким образом, $I=a\mathbb {Z}$ .

Положим, теперь $I=pA$ . Поскольку из $ab\in pA$ следует $a\in pA$ или $b\in pA$ , $p$ — простое число.

В кольце многочленов от одной переменной $A=\mathbb {R} [x]$ каждый простой идеал имеет вид $pA$ , где $p$ — неприводимый над $\mathbb {R}$ многочлен.
В кольце многочленов $A=\mathbb {Q} [x,y]$ множество $I=xA+yA$ является простым идеалом.

Доказательство

Любой элемент $a\in \mathbb {Q} [x,y]$ можно представить в виде $a=a_{0}+a_{1}x+a_{2}y$ , где $a_{1},a_{2}\in \mathbb {Q} [x,y]$ — некоторые многочлены, а $a_{0}\in \mathbb {Q}$ определено однозначно элементом $a$ . Условие $ab\in I$ равносильно тогда условию $a_{0}b_{0}=0$ , откуда следует либо $a_{0}=0$ , либо $b_{0}=0$ .

Некоммутативный случай

Понятие простого идеала коммутативного кольца является частным случаем понятия первичного идеала: первичным идеалом $I$ (не обязательно коммутативного) кольца $A$ называется всякий идеал (не совпадающий со всем кольцом) такой, что если два элемента $a,b\in A$ таковы, что $\forall r\in A\ arb\in I$ , то или $a\in I$ , или $b\in I$ .