Interested Article - Евклидова геометрия
- 2021-06-30
- 1
Евкли́дова геоме́трия (или элементарная геометрия ) — геометрическая теория , основанная на системе аксиом , впервые изложенной в « Началах » Евклида ( III век до н. э. ). Это геометрия ортогональной группы .
Основные сведения
Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений ( изометрий ) и группой подобия . Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. К элементарной геометрии также относят преобразование инверсии , вопросы сферической геометрии , элементы геометрических построений , теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.
Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией , так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида . Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом . Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.
Аксиоматика
Задача аксиоматизации элементарной геометрии состоит в построении системы аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.
В «Началах» Евклида была дана система аксиом , на которой базируется вся евклидова геометрия:
- От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
- Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
- Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
- Все прямые углы равны между собой.
- Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.
Эта система была достаточна для того, чтобы один математик понял другого, но в доказательствах неявно использовались и другие интуитивно очевидные утверждения, в частности так называемая теорема Паша , которая не может быть выведена из постулатов Евклида.
В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии . Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем , , Пеано , Веронезе , однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.
Существуют и другие современные аксиоматики, наиболее известные:
- аксиоматика Александрова ;
- аксиоматика Биркгофа , содержащая всего 4 аксиомы, но использующая вещественные числа как готовое понятие;
- аксиоматика Тарского .
Системы обозначений
Существует несколько конкурирующих систем обозначений.
- Точки обычно обозначаются прописными латинскими буквами .
- Прямые обычно обозначаются строчными латинскими буквами .
- Расстояние между точками и обычно обозначается или .
- Отрезок между точками и обычно обозначается или .
- Луч из точки через точку обычно обозначается или .
- Прямая через точки и обычно обозначается или .
- Треугольник с вершинами , и обычно обозначается или .
- Площадь фигуры обычно обозначается или .
- Угол, образованный лучами и , обычно обозначается .
-
Величина угла
обычно обозначается
.
- При этом для краткости величина угла часто обозначается строчной греческой буквой
См. также
- Системы аксиом
- Геометрия Лобачевского
- Геометрия Римана
- Неевклидова геометрия
- Аналитическая геометрия
Литература
- Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1. — М. : Учпедгиз , 1948; Ч. 2. — М. : Учпедгиз, 1951.
- Гильберт Д. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. — Л. : «Сеятель», 1923. — 152 с.
- Евклидова геометрия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров . — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. ISBN 5-9221-0267-2 .
- Математический энциклопедический словарь . — М. : « Советская энциклопедия », 1988.
- Обухова А. И. .
- , 165. Аффинная унимодулярная группа, с. 422.
- 2021-06-30
- 1