Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Определение

Пусть ${\displaystyle (M,\cdot )}$ — множество ${\displaystyle M}$ с определённой на нём бинарной операцией « ${\displaystyle \cdot }$ ». Элемент ${\displaystyle e\in M}$ называется нейтральным относительно ${\displaystyle \cdot }$ (умножения), если

${\displaystyle x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M}$ .

В случаях некоммутативных операций , вводят левый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$ , для которого

${\displaystyle e_{\mathrm {l} }\cdot x=x,\quad \forall x\in M}$ ,

и правый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$ , для которого

${\displaystyle x\cdot e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in M}$ .

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$ , и нейтральный справа элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$ , то они обязаны совпадать (так как ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }\cdot e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }}$ ).

Примеры

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	${\displaystyle +}$ ( сложение )	число 0
Вещественные числа	${\displaystyle \cdot }$ ( умножение )	число 1
Вещественные числа	${\displaystyle -}$ ( вычитание )	число 0 (нейтральный справа)
Вещественные числа	${\displaystyle a^{b}}$ ( возведение в степень )	число 1 (нейтральный справа)
Расширенная числовая прямая	${\displaystyle \div }$ ( деление )	число 1 (нейтральный справа)
Векторное пространство	${\displaystyle +}$ ( сложение векторов )	${\displaystyle {\vec {0}}}$ ( нуль-вектор )
Матрицы размера ${\displaystyle m\times n}$	${\displaystyle +}$ (матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера ${\displaystyle n\times n}$	${\displaystyle \times }$ (матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида ${\displaystyle f:M\to M}$	${\displaystyle \circ }$ ( композиция функций )	тождественное отображение
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	${\displaystyle \min }$ ( минимум ) или ${\displaystyle \inf }$ ( инфимум )	${\displaystyle +\infty }$
Расширенная числовая прямая	${\displaystyle \max }$ ( максимум ) или ${\displaystyle \sup }$ ( супремум )	${\displaystyle -\infty }$
Подмножества множества ${\displaystyle M}$	${\displaystyle \cap }$ ( пересечение множеств )	${\displaystyle M}$
Множества	${\displaystyle \cup }$ ( объединение множеств )	${\displaystyle \varnothing }$ ( пустое множество )
Исчисление высказываний	${\displaystyle \wedge }$ ( конъюнкция )	${\displaystyle \top }$ (истина)
Исчисление высказываний	${\displaystyle \lor }$ ( дизъюнкция )	${\displaystyle \bot }$ (ложь)

Терминология

В алгебре

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом . См. статью « единица (алгебра) » о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах , полях , и алгебрах над ними.

Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением , то нейтральный элемент называют нулём , опять-таки по аналогии с одноимённым числом . Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но, обычно, и групповую операцию в абелевых группах в аддитивной нотации.

В теории решёток

В теории решёток нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».

См. также

• Обратный элемент
• Моноид
• Группа

Ссылки

• Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с. стр 77 "Нейтральные элементы"
• (рус.)
• (рус.)
• (англ.)
• (англ.)