Ехиднаэдр
Группа симметрии	Икосаэдрическая ( I h )
Тип	Звёздчатая форма икосаэдра
Обозначения	Дю Валь: H Веннинджер : W 42
Элементы (в форме звёздчатого многогранника)	Г = 20, Р = 90 В = 60 ( χ = −10)
Элементы (в форме созвездия икосаэдра)	Г = 180, Р = 270 В = 92 ( χ = 2)
Свойства (как звёздчатого многогранника)	Вершино-транзитивный , гране-транзитивный
Эннеаграмма ехиднаэдра Ядро звёздчатого многогранника Выпуклая оболочка Икосаэдр Усечённый икосаэдр

Ехидна́эдр ( англ. echidnahedron ) — последняя звёздчатая форма икосаэдра , также называют полной или завершающей формой икосаэдра, так как она включает в себя все ячейки икосаэдра.

Впервые ехиднаэдр был описан в 1900 году. Название ехиднаэдру дал Эндрю Хьюм, опираясь на то, что его телесные углы при вершинах малы и это делает его похожим на колючего ежа или ехидну .

Представление

На основании анализа научной литературы Бранко Грюнбаум в статье «Может ли каждая плоскость многогранника иметь много сторон?» («Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides?») отмечает, что существует по крайней мере три различных метода рассмотрения многогранников. В случае ехиднаэдра это:

• объединение 180 треугольных граней;
• пересечение 20 самопересекающихся граней — эннеаграмм ;
• пересечение 18-угольных звёздчатых многоугольников .

В форме созвездия икосаэдра

Как простая, видимая поверхность многогранника, внешняя форма ехиднаэдра состоит из 180 треугольных граней, которые образуют 270 рёбер, которые, в свою очередь, встречаются в 92 вершинах .

Все вершины ехиднаэдра лежат на поверхности трёх концентрических сфер. Внутренняя группа из 20 вершин образует вершины правильного додекаэдра ; следующий слой из 12 вершин образует вершины правильного икосаэдра ; и наружный слой из 60 вершин образует вершины усечённого икосаэдра .

Выпуклые оболочки каждой сферы вершин

Внутренняя	Средняя	Внешняя	Все три
20 вершин	12 вершин	60 вершин	92 вершины
Додекаэдр	Икосаэдр	Усечённый икосаэдр	Ехиднаэдр

В форме звёздчатого многогранника

Завершающая звёздчатая форма икосаэдра также может быть рассмотрена как самопересекающийся звёздчатый многогранник , имеющий 20 граней, соответствующих 20 граням икосаэдра. Каждая грань является неправильным звёздчатым многоугольником (или эннеаграммой ) . Каждые три грани образуют одну вершину, поэтому ехиднаэдр имеет 20 × 9 ÷ 3 = 60 вершин (этот внешний слой вершин и образует кончики «колючки») и 20 × 9 ÷ 2 = 90 рёбер (каждое ребро звёздчатого многогранника включает 2 из 180 видимых рёбер многогранника).

Как завершающая форма икосаэдра

Эта звёздчатая форма многогранника образуется путём присоединения к икосаэдру всех отсеков, получаемых при продлении граней икосаэдра бесконечными плоскостями . Таким образом, создается новый многогранник, ограниченный этими плоскостями как гранями, а пересечениями этих плоскостей являются рёбра. В книге « Пятьдесят девять икосаэдров » перечислены созвездия икосаэдра (включая ехиднаэдр) в соответствии с набором правил, выдвинутым Джеффри Миллером .

Свойства

Наименования и классификация

• Символ Дю Валя ехиднаэдра — это H , поскольку он включает все ячейки в схеме созвездия, в том числе наиболее удалённый уровень - уровень «h» .
• В книге Магнуса Веннинджера Модели многогранников ехиднаэдр имеет индекс W ₄₂ .
• Если бы грани ехиднаэдра являлись правильными эннаграммами, его можно было бы рассматривать как правильный многогранник с символом Шлефли {9/4,3}. Это означает, что в каждой вершине сходятся 3 грани, где каждая грань представляет собой неправильный 9/4 звёздчатый многоугольник .

Характеристики

• Эйлерова характеристика ехиднаэдра равна 2 . Данная характеристика считается по формуле ${\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}},}$ где Г, Р и В — числа граней, рёбер и вершин соответственно.
• Если рассматривать ехиднаэдр как звёздчатый многогранник, то завершающая форма икосаэдра является , так как он является равногранным (гране-транзитивным) и изогональным (вершинно-транзитивным) .

Формулы

• Если рассматривать ехиднаэдр как геометрическое тело с длинами рёбер a , Φ a , Φ ² a и Φ ² a √2 (где Φ — золотое сечение ), то площадь поверхности ехиднаэдра составляет

${\displaystyle S={\frac {1}{20}}(13211+{\sqrt {174306161}})a^{2}\,,}$

а объём

${\displaystyle V=(210+90{\sqrt {5}})a^{3}\,.}$

• Радиусы сфер, на которых расположены вершины ехиднаэдра, находятся в соотношении

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{2}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(97+43{\sqrt {5}}\right)}}\,.}$

• Тензор инерции ехиднаэдра постоянной плотности может быть представлен как диагональная матрица 3×3, элементы главной диагонали которой равны ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{45}}\left(299+131{\sqrt {5}}\right)Ma^{2}}$ (где M — общая масса) .

Исторический очерк

Ехиднаэдр принадлежит к звёздчатым многогранникам , которые впервые в научной литературе были описаны в 1619 году в трактате Harmonices Mundi Иоганом Кеплером . Кеплер дал математическое обоснование свойств двух типов правильных звёздчатых многогранников : малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр . Гораздо позже — в 1809 году — Луи Пуансо заново открыл многогранники Кеплера, а также открыл ещё два звёздчатых многогранника: большой додекаэдр и большой икосаэдр , которые теперь называют телами Кеплера — Пуансо . А в 1812 году Огюстен Коши доказал, что существует только 4 вида правильных звёздчатых многогранников .

Впервые ехиднаэдр был описан в 1900 году Максом Брюкнером в классической работе о многогранниках, озаглавленной «Многоугольники и многогранники», где помимо него были описаны ещё 9 звёздчатых форм икосаэдра . С тех пор ехиднаэдр стал появляться в работах других математиков, причём он не имел единого обозначения. В 1924 году Альберт Виллер опубликовал список 20 звёздчатых форм (22, включая копии), и в том числе ехиднаэдр . Наиболее систематическое и полное исследование звёздчатых многогранников провели Гарольд Коксетер совместно с Патриком дю Валем , Флейзером и Джоном Петри в 1938 году в книге Пятьдесят девять икосаэдров , где они применили правила ограничения, установленные Дж. Миллером. Коксетер доказал, что существует всего 59 звёздчатых форм икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией. Ехиднаэдр занимает восьмое место в книге . В труде Магнуса Веннинджера, изданной в 1974 году Модели многогранников , ехиднаэдр включён как 17-я модель икосаэдра с индексом W ₄₂ .

Современное название последней звёздчатой формы икосаэдра дал Эндрю Хьюм в 1995 году в своей базе данных как echidnahedron ( ехидна , или колючий муравьед, небольшое млекопитающее , покрытое жёсткими волосами и шипами, сворачивается в клубок, чтобы защититься).

База данных Netlib охватывает все , архимедовы тела , ряд призм и антипризм , все многогранники Джонсона

(выпуклые многогранники, у которых каждая грань — правильный многоугольник) и некоторые странные многогранники, включая ехиднаэдр (моё название, на самом деле это завершающая форма икосаэдра).

Оригинальный текст (англ.)

"It (Netlib) covers all the regular polyhedra, archimedean solids, a number of prisms and antiprisms, and all the Johnson polyhedra (all convex polyhedra with regular polygonal faces) and some odd solids including the echidnahedron (my name; its actually the final stellation of the icosahedron)".

—

Примечания

Литература

• Harold Scott MacDonald Coxeter , P. Du Val , H. T. Flather , J. F. Petrie. = The Fifty-Nine Icosahedra. — 3-е изд. — Tarquin, 1999. — P. –31. — 72 p. — ISBN 978-1-899618-32-3 .
• Magnus J. Wenninger. = Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1971. — P. 65. — ISBN 0-521-09859-9 .
• Louis Poinsot. Записки о многоугольниках и многогранниках = Memoire sur les polygones et polyèdres. — J. de l'École Polytechnique, 1810. — P. 16–48.
• Peter R. Cromwell. = Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — P. 268. — ISBN 0-521-66405-5 .
• Max Brückner. = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. — Leipzig: B. G. Teubner Verlag, 1900. — ISBN 978-1-4181-6590-1 .
• A. H. Wheeler. Некоторые формы икосаэдра и метод получения и обозначения высших многогранников (англ.) = Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra // Proc. Internat. Math. Congress. — Toronto, 1924. — Vol. 1. — P. 701–708.
• Gerald Jenkins, Magdalen Bear. Последняя звёздчатая форма икосаэдра: расширенная математическая модель — вырезать и склеить = The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together. — Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. — ISBN 978-0-906212-48-6 .
• Branko Grünbaum. (англ.) = Can Every Face of a Polyhedron Have Many Sides?. — 2008. — P. 15.

Ссылки

• Andrew Hume. (англ.) . Google.com. Дата обращения: 26 октября 2014.
• Andew Hume. (англ.) . Дата обращения: 7 ноября 2014.
• Eric Weisstein. (англ.) . Mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 26 октября 2014.
• Eric Weisstein. (англ.) . Mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 26 октября 2014.
• Eric Weisstein. (англ.) . Mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 7 ноября 2014.
• Ralph Jones. (англ.) (Microsoft Word(.doc)). Дата обращения: 26 октября 2014. 4 октября 2011 года.
• Guy Inchbald. (англ.) . Дата обращения: 7 ноября 2014.
• (англ.) . Honeylocust Media Systems (2006). Дата обращения: 26 октября 2014. 7 октября 2008 года.
• (рус.) . Wenninger.narod.ru. Дата обращения: 3 ноября 2014.