В теории чисел простым числом Вольстенхольма называется всякое простое число , удовлетворяющее усиленному сравнению из теоремы Вольстенхольма . При этом исходному сравнению из теоремы Вольстенхольма удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3. Простые Вольстенхольма названы в честь математика , который первым доказал теорему в XIX веке.

Интерес к этим простым возник по причине их связи с великой теоремой Ферма .

Известны только два простых числа Вольстенхольма — это 16843 и 2124679 (последовательность в OEIS ). Других простых чисел Вольстенхольма, меньших 10 ⁹ , нет .

Определения

Простое число Вольстенхольма может быть определено несколькими эквивалентными путями.

Через биномиальные коэффициенты

Простое число Вольстенхольма — это простое число, удовлетворяющее сравнению

${\displaystyle {2p \choose p}\equiv 2{\pmod {p^{4}}},}$

где выражение в левой части обозначает биномиальный коэффициент . Сравните с теоремой Вольстенхольма , которая утверждает, что для любого простого p > 3 выполняется следующее сравнение:

${\displaystyle {2p \choose p}\equiv 2{\pmod {p^{3}}}.}$

Через числа Бернулли

Простое число Вольстенхольма — это простое число p , делящее (без остатка) числитель числа Бернулли B _{p −3} . Таким образом, простые числа Вольстенхольма представляют собой подмножество иррегулярных простых чисел .

Через иррегулярные пары

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что ( p , p -3) является иррегулярной парой .

Через гармонические числа

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что

${\displaystyle H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}\,,}$

то есть числитель гармонического числа ${\displaystyle H_{p-1}}$ делится на p ³ .

Поиск и текущее состояние

Поиск простых чисел Вольстенхольма начался в 1960-х годах и продолжается до сих пор. Последний результат был опубликован в 2007 году. Первое простое число Вольстенхольма 16843 было найдено в 1964 году, хотя результат и не был опубликован в явном виде . Находка 1964 года была потом независимо подтверждена в 1970-х годах . Это число оставалось единственным известным примером таких чисел почти 20 лет, пока не было объявлено об обнаружении второго простого числа Вольстенхольма 2124679 в 1993 году . В то время вплоть до 1,2⋅10 ⁷ не было найдено ни одного числа Вольстенхольма, кроме упомянутых двух . Позднее граница была поднята до 2⋅10 ⁸ Макинтошем (McIntosh) в 1995 году , а Тревисан (Trevisan) и Вебер (Weber) смогли достичь 2,5⋅10 ⁸ . Последний результат зафиксирован в 2007 году — до 1⋅10 ⁹ так и не нашли простых чисел Вольстенхольма .

Ожидаемое количество

Существует гипотеза, что простых чисел Вольстенхольма бесконечно много. Предполагается также, что количество не превосходящих x простых чисел Вольстенхольма должно быть порядка ln ln x , где ln обозначает натуральный логарифм . Для любого простого числа p ≥ 5 частным Вольстенхольма называется

${\displaystyle W_{p}{=}{\frac {{2p \choose p}-2}{p^{3}}}.}$

Ясно, что p является простым числом Вольстенхольма тогда и только тогда, когда W _p ≡ 0 (mod p ). Из эмпирических наблюдений можно предположить, что остаток W _p по модулю p равномерно распределён на множестве {0, 1, …, p -1}. По этим причинам вероятность получения определённого остатка (например, 0) должна быть около 1/ p .

См. также

• Число Вильсона
• Простое число Фибоначчи — Вифериха
• Простое число Вифериха

Примечания

Литература

Ссылки

• Caldwell, Chris K. — из справочника простых чисел
• McIntosh, R. J. e-mail to Paul Zimmermann
• Bruck, R.
• Conrad, K. — интересное наблюдение, связанное с простыми числами Вольстенхольма.