Неприкоснове́нное число́ ( англ. Untouchable number ) — положительное целое число , которое не может быть выражено как сумма всех собственных делителей любого целого положительного числа (в том числе самого неприкосновенного числа).

Например, число 4 не является неприкосновенным, так как оно равно сумме собственных делителей числа 9: 1 + 3 = 4. Число 5 является неприкосновенным, так как его нельзя выразить в виде суммы собственных делителей любого натурального числа: 5 = 1 + 4 — единственный способ, чтобы написать 5 в виде суммы различных натуральных чисел, включая 1, но если 4 — делитель числа, 2 также является его делителем, так что 1 + 4 не может быть суммой всех собственных делителей любого числа (так как перечень делителей должен содержать как 4, так и 2).

Первые 53 неприкосновенных числа :

2 , 5 , 52 , 88 , , 120 , 124 , 146 , 162 , , , 210 , 216 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 576 , , , , , ,

Считается, что 5 — единственное нечётное число из неприкосновенных, но это не было доказано. Это должно следовать из немного усиленного варианта гипотезы Гольдбаха . Таким образом, представляется, что, кроме 2 и 5, все неприкосновенные числа составные . Совершенные числа не могут быть неприкосновенными, так как они могут быть выражены как сумма своих собственных делителей .

Пал Эрдёш доказал, что множество неприкосновенных чисел бесконечно .

Не существует неприкосновенных чисел, которые бы были на единицу больше, чем простое число , так как если р — простое число, то сумма собственных делителей р ² будет р + 1. Кроме того, не существует неприкосновенных чисел, за исключением 5, равных простому числу плюс три, так как если р — простое число, не равное двум, то сумма собственных делителей 2р будет р + 3.

Примечания

Ссылки

• Richard K. Guy , Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; section B10.