Флексагоны (от англ. to flex , лат. flectere — складываться, сгибаться, гнуться и греч. ωνος — угольник) — плоские модели из полосок бумаги, способные складываться и сгибаться определённым образом. При складывании флексагона становятся видны поверхности, которые ранее были скрыты в конструкции флексагона, а прежде видимые поверхности уходят внутрь.

Многие флексагоны имеют квадратную (тетрафлексагоны) или шестиугольную (гексафлексагоны) форму. Впрочем, существуют флексагоны других форм, включая прямоугольные и кольцевые.

Для различения плоскостей на секторы флексагона наносят цифры, буквы, элементы изображения или просто окрашивают в определённый цвет.

История

Первый флексагон был открыт в 1939 году английским студентом , изучавшим тогда математику в Принстонском университете в США. Бумага формата Letter была слишком широкой и не умещалась в скоросшиватель, предназначенный для бумаги формата A4 . Стоун обрезал края бумаги и из получившихся полосок стал складывать различные фигуры, одна из которых оказалась тригексафлексагоном .

Вскоре был создан «Флексагонный комитет», в который вошли, кроме Стоуна, аспирант-математик , аспирант-физик Ричард Фейнман и преподаватель математики Джон У. Тьюки .

К 1940 году Фейнман и Тьюки разработали теорию флексагонов, заложив тем самым основания для всех последующих исследований. Теория не была опубликована полностью, хотя отдельные её части впоследствии были открыты заново . Нападение на Пёрл-Харбор приостановило работу «Флексагонного комитета», а война вскоре разбросала всех четырёх его учредителей в разные стороны .

Популярность флексагоны получили после появления в декабрьском номере журнала « Scientific American » за 1956 год первой колонки Мартина Гарднера «Mathematical Games», посвящённой гексафлексагонам .

Флексагоны неоднократно были запатентованы в виде игрушек, но не получили широкого коммерческого распространения .

Виды флексагонов

Поверхности флексагона могут состоять из равносторонних или равнобедренных треугольников, квадратов, пятиугольников и т. д. Флексагон может допускать появление определённого числа поверхностей; некоторые из них могут быть аномальными (т. е. включающими в себя секторы с разными цифрами). Флексагон заданной формы с заданным количеством плоскостей может быть изготовлен из разных развёрток. Более того, даже одна и та же развёртка может допускать разные варианты сворачивания .

Наименования флексагонов

Названия многих флексагонов образованы по принципу «приставка (число поверхностей) + приставка (форма) + „флексагон“». Таким образом, первая приставка обозначает, сколько у флексагона поверхностей, которые могут рано или поздно раскрыться, а вторая — на сколько частей разделена каждая такая поверхность. Например, тетратетрафлексагон — это флексагон с четырьмя поверхностями, каждая из которых состоит из четырёх квадратов; гексагексафлексагон — флексагон с шестью поверхностями, каждая из которых состоит из шести треугольников; додекагексафлексагон — флексагон с двенадцатью («додека») поверхностями, каждая из которых состоит из шести («гекса») секторов, и т. д.

Впрочем, общепринятой системы наименований для флексагонов нет. Мартин Гарднер использовал термины «тетрафлексагон» и «гексафлексагон» для обозначения флексагонов, состоящих из квадратов и треугольников соответственно, причём поверхности тетрафлексагона могли состоять из четырёх или шести квадратов . В книге Flexagons Inside Out флексагоны обозначаются по форме секторов (квадратный, пятиугольный и т. п.)

В более позднее время окта- и додекафлексагонами стали называть флексагоны с 8 и 12 треугольными секторами соответственно . Если секторы поверхностей флексагона представляют собой правильные или равнобедренные треугольники, то помимо гексафлексагонов существуют треугольные тетра-, пента-, гепта-, октафлексагоны .

В журналах «Наука и жизнь» использовалась в основном система приставок ИЮПАК .

Гексафлексагоны

Гексафлексагон — это флексагон, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольных секторов.

Существует множество гексафлексагонов, различающихся по числу поверхностей. Известны гексафлексагоны с тремя, четырьмя, пятью, шестью, семью, девятью, двенадцатью, пятнадцатью, сорока восемью поверхностями; количество плоскостей ограничено лишь тем, что бумага имеет ненулевую толщину .

Число видов гексафлексагонов быстро растёт с увеличением числа его поверхностей: существуют 3 вида гексагексафлексагона, 4 вида гептагексафлексагона, 12 видов октагексафлексагонов, 27 видов эннагексафлексагонов и 82 вида декагексафлексагона .

Тригексафлексагон

Соответственно названию, тригексафлексагон — это шестиугольный флексагон с тремя поверхностями. Это самый простой из всех гексафлексагонов (не считая унагексафлексагона и дуогексафлексагона ). Он представляет собой сплющенную ленту Мёбиуса . Тригексафлексагон можно свернуть из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников . Складывание тригексафлексагона осуществляется методом , носящим название pinch flex , с поворотом на 60° после каждого складывания.

Гексагексафлексагон

Гексагексафлексагон — флексагон с шестью шестиугольными поверхностями. Гексагексафлексагон можно изготовить из полоски длиной в 19 треугольников .

Тетрафлексагоны

Простейший тетрафлексагон (флексагон с квадратными поверхностями) — тритетрафлексагон, имеющий три поверхности. В любой момент видимыми являются лишь две из трёх поверхностей.

Более сложные гексатетрафлексагон и декатетрафлексагон собираются из крестообразной развёртки без использования клея . Тетрафлексагоны с числом плоскостей 4 n + 2 также можно изготавливать из квадратных рамок .

Из зигзагообразных полосок бумаги можно изготовить тетратетрафлексагон и другие тетрафлексагоны с числом плоскостей, кратным 4 .

Кольцевые флексагоны

Кольцевой флексагон — флексагон, поверхность которого представляет собой «кольцо» из многоугольников. Для наименования кольцевых флексагонов может быть использована приставка «цирко», например, пентациркодекафлексагон — кольцевой флексагон с пятью плоскостями, состоящими из десяти многоугольников (пятиугольников) каждая ; тригемициркогексафлексагон — флексагон с тремя поверхностями, каждая из которых представляет собой кольцо ( цирко ) из половинок ( геми ) правильных шестиугольников ( гекса ) .

Путь Таккермана

Простой способ обнаружить все поверхности гексафлексагона — обход Таккермана — заключается в том, чтобы держать флексагон за один угол и раскрывать модель до тех пор, пока она не перестанет раскрываться, затем повернуть флексагон на 60° по часовой стрелке, взяться за соседний угол и повторить то же самое .

При обходе Таккермана плоскости гексагексафлексагона будут раскрываться в порядке: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (или в обратном порядке), после чего последовательность повторится. Эту последовательность называют путём Таккермана .

Методы складывания («флексы»)

Гексафлексагоны

Внешние видеофайлы
Флексагоны
(Методы складывания)
	Scott Sherman . Демонстрация «флексов» на примере пентагексафлексагона

Описанный выше метод складывания гексафлексагона, используемый для обхода всех плоскостей (пути Таккермана), носит название pinch flex . Существуют следующие методы складывания гексафлексагонов:

• pinch flex (выполним на гексафлексагонах с тремя и более плоскостями)
• v-flex (выполним на гексафлексагонах с четырьмя и более плоскостями)
• tuck flex , «лодочка-гексаэдр» (выполним на гексафлексагонах с четырьмя плоскостями и более)

и др.

Аномалии

Плоскость флексагона (совокупность секторов), на которой присутствуют разные цифры, называется аномальной плоскостью , а флексагон с видимой аномальной плоскостью (в аномальном положении) — аномальным флексагоном . Появление аномальных плоскостей возможно на флексагонах достаточно высокого порядка, например, на гексагексафлексагоне , додекагексафлексагоне . Простейшим гексафлексагоном, допускающим появление аномалий, является тетрагексафлексагон . Для достижения аномальных плоскостей используются методы складывания, отличные от «стандартного» pinch flex .

См. также

• Геометрическая теория групп
• Предел складывания бумаги
• Оригами
• Изгибаемый многогранник

Примечания

Литература

Книги

• Мартин Гарднер . Математические головоломки и развлечения = Mathematical Puzzles and Diversions / Пер. Ю. А. Данилова , под ред. Я. А. Смородинского . — 2-е. — М. : Мир, 1999. — ISBN 5-03-003340-8 .
• Les Pook. (англ.) . — Cambridge University Press. — 182 p. — ISBN 0-521-81970-9 .
• Les Pook. (англ.) . — 2009 edition (August 17, 2009). — Springer. — 346 p. — ISBN 978-90-481-2502-9 .

Статьи

• А. А. Панов. // Квант . — 1988. — № 7 . — С. 10—14 .
• И. Кан. // Квант. — 1992. — № 10 . — С. 57—59 .
• Флексагоны (рус.) // Наука и жизнь . — 1970. — № 1 . — С. 124—125 . Тригексафлексагон
• Флексагоны (рус.) // Наука и жизнь . — 1970. — № 2 . — С. 68—69 . Гексагексафлексагон, путь Таккермана
• Флексагоны (рус.) // Наука и жизнь . — 1970. — № 3 . — С. 154—155 . Другие гексафлексагоны
• Флексагоны (рус.) // Наука и жизнь . — 1970. — № 8 . — С. 149 . Переписка с читателями
• Флексагоны (рус.) // Наука и жизнь . — 1972. — № 3 . — С. 142—143 . Тетрафлексагоны
• Флексагоны (рус.) // Наука и жизнь . — 1972. — № 4 . — С. 107 . Флексотрубка Стоуна
• Флексагоны (рус.) // Наука и жизнь . — 1975. — № 7 . — С. 154—155 . Флексотрубка Стоуна (продолжение)
• (рус.) // Наука и жизнь . — 1975. — № 9 . — С. 121—123 . Гексатетрафлексагон, декатетрафлексагон, приставки IUPAC
• И. Константинов. Флексагонными тропами (рус.) // Наука и жизнь . — 1977. — № 2 . — С. 92—96, V . Туннельный перевод
• Флексагоны (рус.) // Наука и жизнь . — 1977. — № 8 . — С. 98—99 . Пространственные модели диаграмм перевода. Пентациркодекафлексагон
• И. Кан. Гемитетрафлексагоны (рус.) // Наука и жизнь . — 1992. — № 4 . — С. 126—127 . Гемитетрафлексагоны
• И. Кан. Гемитетра- и гемигексафлексагоны (рус.) // Наука и жизнь . — 1993. — № 11 . — С. 150—152 .
• И. Кан. Треугольные флексагоны (рус.) // Наука и жизнь . — 1993. — № 12 . — С. 42—43 .

Ссылки

• на
• , . Антология Мартина Гарднера
• , . Растрёпанный Блокнот
• Jürgen Köller. (англ.) , (нем.) . Mathematische Basteleien.
• Weisstein, Eric W. , , (англ.) . Wolfram MathWorld
• Scott Sherman. (англ.) . — Бестиарий, диаграммы, теория, терминология. Дата обращения: 30 июля 2013. 13 августа 2013 года.
• David King. (англ.) . — Printable templates, instructions, theory. Дата обращения: 31 июля 2013. 13 августа 2013 года.
• (англ.) Hexaflexagons (YouTube): .
• (англ.) . Woolly Thoughts.
• Anthony S. Conrad, Daniel K. Hartline. (англ.) . (1962). — Теория флексагонов: виды, конструирование, анализ. Дата обращения: 30 июля 2013. 13 августа 2013 года. ( )

• Harold V. McIntosh, Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline. (англ.) (1962,2000,2003). — Статьи по флексагонам в формате PDF. Дата обращения: 30 июля 2013. 13 августа 2013 года.
• Harold V. McIntosh. (англ.) . — Contains valuable historical information and theory; the author's site has several flexagon related papers listed in . Дата обращения: 30 июля 2013. 13 августа 2013 года.

• . Mathematrix (англ.)
• . Murderous Maths (англ.)
• (англ.) (2010). IJPAM, Vol. 58, No. 1, 113-124.
• (англ.) . — Yahoo! newsgroup. Дата обращения: 30 июля 2013. 13 августа 2013 года.
• Dr. Antônio Carlos M. de Queiroz. (неопр.) . — A catalog of all the hexaflexagons up to order 10, and a program named HexaFind that finds all the possible Tuckerman traverses for given orders of hexaflexagons. Дата обращения: 30 июля 2013. 13 августа 2013 года.