Вложение (или включение ) — специального вида отображение одного экземпляра некоторой математической структуры во второй экземпляр такого же типа. А именно, вложение некоторого объекта ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ задаётся инъективным отображением, сохраняющим некоторую структуру. Что означает «сохранение структуры», зависит от типа математической структуры, объектами которой являются ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ . В терминах теории категорий отображение, «сохраняющее структуру», называют морфизмом .

То, что отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$ является вложением, часто обозначают «крючковатой стрелкой» таким образом: ${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y}$ .

Для заданных ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ может быть несколько возможных вложений. Во многих случаях существует стандартное (или «каноническое») вложение — например, вложения натуральных чисел в целые, целых в рациональные, рациональных в вещественные, а вещественных в комплексные . В таких случаях обычно задают область определения ${\displaystyle X}$ с образом ${\displaystyle f(X)\subset Y}$ , такую что ${\displaystyle X\subseteq Y}$ .

Геометрия и топология

Общая топология

Отображение топологических пространств ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется вложением ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ , если ${\displaystyle f:X\to f(X)\subset Y}$ — гомеоморфизм (на ${\displaystyle f(X)}$ рассматривается топология, индуцированная с ${\displaystyle Y}$ ). Каждое вложение непрерывно и инъективно .

Для пространства ${\displaystyle X}$ существование вложения ${\displaystyle X\to Y}$ — топологический инвариант . Мы можем различить два пространства, если одно из них можно вложить в ${\displaystyle Y}$ , а другое нельзя.

Дифференциальная топология

Пусть ${\displaystyle M,N}$ — гладкие многообразия и ${\displaystyle f:M\to N}$ — гладкое отображение . Оно называется погружением , если дифференциал ${\displaystyle df}$ отображения ${\displaystyle f}$ всюду инъективен . Гладкое вложение — это инъективное погружение, являющееся также вложением в вышеприведённом смысле (то есть гомеоморфизмом на свой образ ).

Другими словами, прообраз вложения диффеоморфен своему образу, и, в частности, образ вложения должен быть подмногообразием . Погружение в свою очередь является локальным вложением (то есть для каждой точки ${\displaystyle x\in M}$ существует окрестность ${\displaystyle U\subset M,x\in U}$ , такая что ${\displaystyle f:U\to N}$ — вложение).

Важный частный случай — когда N = R ⁿ . Интерес здесь представляет вопрос, насколько малым может быть n . Теорема Уитни о вложении утверждает, что достаточно n=2m , где m — размерность многообразия.

Алгебра

Теория колец

В теории колец вложением называется инъективный гомоморфизм колец ${\displaystyle f\colon A\to B}$ . Так как ${\displaystyle f(A)}$ является подкольцом кольца ${\displaystyle B}$ , то вложение ${\displaystyle f}$ устанавливает изоморфизм между кольцами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle f(A)}$ .

Теория категорий

В теории категорий не существует удовлетворительного определения вложения, которое подходило бы для всех категорий. Типичные требования на определение вложения в произвольной категории таковы: все изоморфизмы являются вложениями, композиция вложений — вложение, все вложения — мономорфизмы , любой экстремальный мономорфизм — вложение.

В конкретной категории вложение — это морфизм ƒ : A → B , который действует инъективно на множествах-носителях и также является начальным морфизмом в следующем смысле: если g — функция из множества-носителя объекта C во множество-носитель A , и её композиция с ƒ является морфизмом ƒg : C → B , то g также является морфизмом.

Как обычно в теории категорий, существует двойственное понятие , известное как фактор.

См. также

• Погружение (топология)

Примечания