Кинема́тика твёрдого тела (от др.-греч. κίνημα — движение) — раздел кинематики , изучающий движение абсолютно твёрдого тела (системы материальных точек с неизменными расстояниями), не вдаваясь в вызывающие его причины. В силу относительности движения, обязательно указание системы отсчёта , относительно которой описывается движение.

Описание движения

Особенность твёрдого тела позволяет ввести связанную с ним ортонормированную систему координат ${\displaystyle ({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })}$ с центром в точке ${\displaystyle S}$ (произвольной точке, связанной с этим телом). Тогда в абсолютной ортонормированной системе ${\displaystyle Oxyz,\,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})}$ , координату произвольной точки твёрдого тела можно выразить:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{S}(t)+\xi {\vec {e}}_{\xi }(t)+\eta {\vec {e}}_{\eta }(t)+\zeta {\vec {e}}_{\zeta }(t)}$ , причём т.к. тело абсолютно твёрдое: ${\displaystyle {\dot {\xi }}={\dot {\eta }}={\dot {\zeta }}=0}$ , но ${\displaystyle {\dot {\vec {e}}}_{i}\neq 0\,(i=\xi ,\eta ,\zeta )}$ .

Пусть ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}={\hat {A}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}}$ . В частности, преобразование можно задать с помощью углов Эйлера .

Так как базисы ортонормированы, ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ортогональна , вследствие чего ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E}$ .

С корость произвольной точки тела тогда:

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\begin{pmatrix}{\dot {\vec {e}}}_{\xi }\\{\dot {\vec {e}}}_{\eta }\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}}$

Дифференцирование ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E}$ приводит ${\displaystyle {\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}=-{\hat {A}}{\dot {\hat {A}}}^{T}}$ , что означает антисимметричность ${\displaystyle {\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}={\hat {\Omega }}}$ , которую можно записать

${\displaystyle {\hat {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&\omega _{\zeta }&-\omega _{\eta }\\-\omega _{\zeta }&0&\omega _{\xi }\\\omega _{\eta }&-\omega _{\xi }&0\end{pmatrix}}}$

Обозначения мотивированы введением ${\displaystyle {\vec {\omega }}=\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\eta }+\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\zeta }}$ (вектора угловой скорости ). Тогда:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\vec {e}}}_{\xi }=\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\eta }-\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\xi }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\eta }=-\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\eta }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }=\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\xi }-\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\eta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\zeta }];\end{cases}}}$

Полученные выражения иначе называют формулами Пуассона.

Формула Эйлера

Формула Эйлера фиксирует связь между скоростями различных точек ${\displaystyle A,B}$ твёрдого тела:

${\displaystyle {\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]}$

• Если ${\displaystyle {\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}}$ , то ${\displaystyle {\vec {\omega }}\parallel {\overrightarrow {AB}}}$ .
• ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ инвариантен по отношению к выбору подвижной системы координат.
• Вектор угловой скорости связан с полем скоростей точек тела ${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}}$ .

Формула Ривальса

Формула Ривальса связывает ускорения различных точек ${\displaystyle A,B}$ твёрдого тела.

Для ${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}={\dot {\vec {\omega }}}}$ (вектора углового ускорения ), с учётом того, что ${\displaystyle {\dot {\overrightarrow {AB}}}=[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]}$ , дифференцирование формулы Эйлера приводит к:

${\displaystyle {\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {AB}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]{\big ]}}$

Последний член в формуле Ривальса определяет осестремительное ускорение .

Сложное движение

Для случаев затруднительного описания движения твёрдого тела относительно неподвижной СО , вводятся формулы сложного движения (т.е. описывающие движение относительно подвижной СО).

Для абсолютной системы отсчёта ${\displaystyle Oxyz,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})}$ и подвижной ${\displaystyle P\xi \eta \zeta \,({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })}$ .

${\displaystyle {\vec {r}}_{S/O}={\vec {r}}_{S/P}+{\vec {r}}_{P/O}}$

Радиус-вектор к точке ${\displaystyle S}$ в абсолютной СО равен сумме относительного радиус-вектора и переносного

Формула сложения скоростей

Дифференцирование по времени формулы для радиус-вектора приводит к формуле сложения скоростей

${\displaystyle {\vec {v}}_{S/O}={\vec {v}}_{P/O}+{\vec {v}}_{S/P}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]}$ , где ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ — угловая скорость вращения подвижной СО.

• ${\displaystyle {\vec {v}}_{S/O}}$ — абсолютная скорость точки ${\displaystyle S}$ ,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{S/P}={\dot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\dot {\eta }}{\vec {e}}_{\eta }+{\dot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }}$ — относительная скорость,
• Слагаемое же ${\displaystyle {\vec {v}}_{P/O}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]}$ называют переносной скоростью, которая связана с изменением положения подвижной СО.

Формула сложения ускорений

Повторное дифференцирование даёт

${\displaystyle {\vec {a}}_{S/O}={\vec {a}}_{P/O}+{\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}+2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]}$ , где ${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}}$ — угловое ускорение подвижной СО.

• ${\displaystyle {\vec {a}}_{S/O}}$ — абсолютное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{P/O}={\ddot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\ddot {\eta }}{\vec {e}}_{\eta }+{\ddot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }}$ — относительное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}}$ — переносное ускорение,
• ${\displaystyle 2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]}$ — кориолисово ускорение.

Сложение угловых скоростей

Запись формулы Эйлера в подвижной СО, вращающейся с угловой скоростью ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{P/O}}$ (само тело здесь вращается с ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{S/P}}$ ) приводит к:

${\displaystyle {\vec {v}}_{B/O}={\vec {v}}_{A/O}+[{\vec {\omega }}_{S/P}\times {\overrightarrow {AB}}]+[{\vec {\omega }}_{P/O}\times {\overrightarrow {AB}}]}$ , что верно для произвольного выбора точек ${\displaystyle A,B}$ , откуда

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{S/O}={\vec {\omega }}_{P/O}+{\vec {\omega }}_{S/P}}$

Иначе, абсолютная угловая скорость равна сумме относительной и переносной.

Качественный анализ возможных движений

• Мгновенно-винтовое движение , характеризуемое тем, что найдётся ${\displaystyle l\parallel {\vec {\omega }}}$ (мгновенно-винтовая ось), такая что для всякой точки ${\displaystyle S\in l:{\vec {v}}_{S}\parallel l}$ . В каждый момент времени всякое движение можно представить мгновенно-винтовым.
• Мгновенно-поступательное движение характеризуется тем, что ${\displaystyle {\vec {\omega }}=0}$ , в таком случае скорости всех точек тела одинаковы (в данное мгновение).
• Мгновенно-вращательное движение , частный случай мгновенно-винтового, т.е. найдётся ${\displaystyle l}$ такая что все точки на ней неподвижны. Прямая ${\displaystyle l}$ в таком случае — мгновенная ось вращения.
• Плоско-параллельное движение осуществляется, если каждая точка тела движется параллельно неподвижной плоскости (пусть ${\displaystyle Oxy}$ ), тогда ${\displaystyle {\vec {\omega }}\perp Oxy}$ . По аналогии с мгновенно-винтовой осью, для плоско-параллельного движения можно выбрать мгновенный центр скоростей — мгновенно-неподвижную точку ${\displaystyle C}$ . Положение ${\displaystyle C}$ меняется как в неподвижной, так и в подвижной (связанной с телом) системах координат. Для геометрического места точек мгновенного центра скоростей в неподвижной СО употребляют термин неподвижная центроида, тогда как в подвижной СО, соответственно, подвижная центроида.
• Вращение вокруг неподвижной точки. По формуле Эйлера, если ${\displaystyle O}$ неподвижна, то неподвижна и ${\displaystyle l=O\omega }$ (мгновенная ось вращения). Геометрическое место осей вращения называют неподвижной и подвижной аксоидами (в зависимости от рассматриваемой СО)

Кинематические формулы Эйлера

В случае, если переход к подвижной СО выполнен с помощью углов Эйлера , справедливы следующие формулы для компонент угловой скорости:

${\displaystyle \omega _{\xi }={\dot {\varphi }}\sin \theta \sin \psi +{\dot {\theta }}\cos \psi }$

${\displaystyle \omega _{\eta }={\dot {\varphi }}\sin \theta \cos \psi -{\dot {\theta }}\sin \psi }$

${\displaystyle \omega _{\zeta }={\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }}\cos \theta }$

${\displaystyle \psi }$ — угол прецессии, ${\displaystyle \theta }$ — угол нутации, ${\displaystyle \varphi }$ — угол собственного вращения.

См. также

• Кинематика сплошной среды
• Механика твёрдого тела
• Кинематика точки

Литература

• Теоретическая механика/Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В. — М., 2010.
• Общий курс физики Т.I. Механика/Сивухин Д.В. — М., 1979. — $7, с. 45-47