Interested Article - Число одинарной точности

Число́ одина́рной то́чности ( англ. single precision , single ) — широко распространенный компьютерный формат представления вещественных чисел, занимающий в памяти 32 бита (4 байта ). Как правило, под ним понимают формат числа с плавающей запятой стандарта IEEE 754 .

Числа одинарной точности с плавающей запятой эквивалентны по точности числу с 7-8 значащими десятичными цифрами (в среднем 7,6) в диапазоне от $10^{-38}$ до примерно $10^{38}$ .

В современных компьютерах вычисления с числами с плавающей запятой поддерживаются аппаратным сопроцессором ( FPU — англ. f loating p oint u nit ). Однако в ряде вычислительных архитектур нет аппаратной поддержки чисел с плавающей запятой, и тогда работа с ними осуществляется программно.

Знак
	Порядок								Мантисса
0	0	1	1	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	= 0,15625
31				24				23				16				15				8				7				0

Для вычисления показателя степени из восьмиразрядного поля порядка вычитается смещение порядка, равное 127 ₁₀ = 7F ₁₆ = 01111111 ₂ (то есть, 01111100 ₂ - 01111111 ₂ = 124 ₁₀ - 127 ₁₀ = -3 ₁₀ ). Так как в нормализованной двоичной мантиссе целая часть всегда равна единице, то в поле мантиссы записывается только её дробная часть,т.е. фактический размер мантиссы числа с одинарной точностью составляет 24 бита. Для вычисления мантиссы к единице добавляется дробная часть мантиссы из 23-разрядного поля дробной части мантиссы 1,01000000000000000000000 ₂ . Число равно произведению мантиссы со знаком на двойку в степени порядка = 1,01 ₂ *2 ₁₀ ^{-3
₁₀} = 101 ₂ *2 ₁₀ ^{-5
₁₀} = 5 ₁₀ *2 ₁₀ ^{-5
₁₀} = 0,15625 ₁₀ .

Общий шаблон для побитового доступа

union {
    float    fl;
    uint32_t dw;
} f;
int s = ( f.dw >> 31 ) ? -1 : 1;   /* Знак */
int e = ( f.dw >> 23 ) & 0xFF;     /* Порядок */
int m =                            /* Мантисса */
  e ?
    ( f.dw & 0x7FFFFF ) | 0x800000 :
    ( f.dw & 0x7FFFFF ) << 1;

Результирующая формула расчёта (число одинарной точности) будет s * (m * 2 ^ -23) * (2 ^(e-127)) .

Примеры использования

Конвертирует целочисленное представление числа с одинарной точностью (в виде четырёх байт, младшие в начале) во встроенный тип действительных чисел Python'а.

def dw2float(dw_array):
    assert (len(dw_array) == 4)
    dw = int.from_bytes(dw_array, byteorder='little',signed=False)
    s = -1 if (dw >> 31) == 1 \
        else 1                                    # Знак
    e = ( dw >> 23 ) & 0xFF;                      # Порядок
    m = ((dw & 0x7FFFFF ) | 0x800000) if e != 0 \
        else ((dw & 0x7FFFFF ) << 1)              # Мантисса
    m1 = m*(2**(-23))                             # Мантисса в float
    return s*m1*(2**(e-127))

0.15625 ₁₀ в формате float записывается как 3E200000 ₁₆ , что эквивалентно четырём байтам: [0x00,0x00,0x20,0x3E]. Вывод программы:

Примеры чисел одинарной точности

Эти примеры представлены в шестнадцатеричном виде чисел с плавающей запятой. Они включают знаковый бит, порядок и мантиссу.

 
In[1]: dw2float([0x00,0x00,0x20,0x3E])
Out[1]: 0.15625
In[2]: dw2float([0x00,0x00,0x20,0xBE])
Out[2]: -0.15625

3f80 0000 = 1
c000 0000 = −2

7f7f ffff ≈ 3.40282346639 × 10³⁸  (максимальное одинарной точности)
0000 0001 = 2^-149 ≈ 1.40129846432 × 10⁻⁴⁵ (Минимальное положительное число одинарной точности — денормализованное)
0080 0000 = 2^-126 ≈ 1.17549435082 × 10⁻³⁸ (Минимальное нормализованное положительное число одинарной точности)

0000 0000 = 0
8000 0000 = −0

7f80 0000 = infinity
ff80 0000 = −infinity
				
3eaa aaab ≈ 1/3

Обычно при переводе числовых констант в формат float делается округление. Например, число 1/3 округляется вверх.