Interested Article - Эрдёш, Пал

Пал Э́рдёш ( венг. Erdős Pál ; встречаются варианты написания Пауль Эрдёш , Пол Эрдёш , Paul Erdős , Paul Erdos ; 26 марта 1913 , Будапешт — 20 сентября 1996 , Варшава ) — венгерский математик , один из наиболее продуктивных математиков XX века. Работал в самых разных областях современной математики: комбинаторика , теория графов , теория чисел , математический анализ , теория приближений , теория множеств и теория вероятностей . Лауреат множества математических наград, включая премию Вольфа (1983/1984). Основатель премии Эрдёша .

Количество написанных им научных статей, как и число соавторов этих статей, не имеет аналогов среди современных ему математиков (более 1400) .

Биография

Родился в Будапеште (тогда Австро-Венгерская империя ) и был старшим ребёнком в образованной еврейской семье. Его родители получили математическое образование и работали учителями. Мать — Анна (Йоханна) Вильгельм (1880—1971), родом из Поважска-Бистрицы , — некоторое время была директором школы (1919—1920), отец — Лайош Эрдёш (до политики мадьяризации имён — Энгландер, 1879—1942) — был призван в действующую армию в годы Первой мировой войны , попал в плен на русском фронте и провёл несколько лет в плену в Сибири .

Ещё в раннем детстве проявил выдающиеся математические способности, в четырёхлетнем возрасте перемножая в уме четырёхзначные числа. В школьные годы неоднократно выигрывал математические олимпиады. В 1930 году поступил в Будапештский университет . В возрасте 19 лет нашёл альтернативное доказательство постулата Бертрана , гораздо более простое, чем ранее известные. Спустя 4 года после поступления в университет не только досрочно окончил обучение, но и защитил диссертацию. В Венгрии, как и в соседней Германии, набирал силу антисемитизм , поэтому в 1934 году принял приглашение переехать в Великобританию и занять должность в Манчестерском университете .

В 1938 году уехал в США, около года работал в принстонском Институте перспективных исследований , затем перешёл в Пенсильванский университет . Не получил американского гражданства, но с началом маккартизма заслужил репутацию политически подозрительной личности; в результате после Международного конгресса математиков в Амстердаме (1954 год) ему запретили въезд в США. Эрдёш перешёл в израильский Технион , где провёл более десяти лет .

В дальнейшем проводил жизнь в постоянных путешествиях по миру. Неутомимо работал до последнего дня. По отзывам друзей, учёный злоупотреблял крепким кофе и амфетаминами . Умер от сердечного приступа во время конференции в Польше, в кармане у него был билет на самолёт до Вильнюса , где должна была состояться его следующая конференция. Похоронен вместе с отцом и сестрой в Будапеште на .

Член Венгерской академии наук и Нидерландской королевской академии наук, Американской академии искусств и наук (1974), иностранный член НАН США (1980) и Лондонского королевского общества (1989). Подписал « Предупреждение учёных человечеству » (1992) .

Особенности характера

Начиная с конца 1930-х годов и до самой смерти стиль жизни Эрдёша можно охарактеризовать как «странствующий математик»: он путешествовал между научными конференциями и домами коллег по всему миру, появлялся на пороге со словами «мой мозг открыт» и оставался на время, необходимое для совместной подготовки нескольких статей, чтобы уехать дальше ещё через несколько дней. Щедро делился с окружающими своими математическими идеями и сам легко откликался на чужие идеи. Большинство статей написал с соавторами, общее количество которых было около пяти сотен. Традиционно в математике совместная статья является скорее исключением, чем правилом, в связи с чем этот феномен породил шуточный наукометрический показатель « число Эрдёша » (длина кратчайшего пути от автора до Эрдёша по совместным публикациям).

До конца жизни говорил по-английски с сильным венгерским акцентом до такой степени, что в любой части света венгры безошибочно определяли соотечественника, даже издалека услышав его английскую речь .

На вопрос журналиста, не слишком ли он пессимистичен, Эрдёш ответил, что в нашей судьбе пессимистично только одно: «Человек живёт недолго и надолго умирает» .

Вклад

Ниже указаны лишь некоторые результаты Эрдёша.

Теория чисел

Доказал, что существует такое число $c<1$ , что для бесконечно многих простых чисел $p$ выполняется неравенство $p'-p<c\log p$ , где $p'$ — следующее простое число.
Доказал, что для любой константы $c>0$ существует бесконечно много простых чисел $p$ , таких что

p'-p>c{\frac {\log p\log \log p}{(\log \log \log p)^{2}}}

.

Получил (параллельно с А. Сельбергом и независимо от него) первое элементарное доказательство асимптотического закона распределения простых чисел .
Дал краткое доказательство расходимости ряда $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}$ (с суммированием по всем простым) элементарными методами .

Доказательство

Пусть ряд сходится. Тогда для некоторого $k$ выполнено $\sum \limits _{p\geq k}{\frac {1}{p}}<{\frac {1}{2}}$ .

Пусть зафиксировано некоторое произвольное $N$ . Разобьём все числа меньшие $N$ на два класса - те, которые имеют простой делитель $p\geq k$ и те, у которых все простые делители меньше $k$ .

Количество чисел в первом классе ограничено сверху величиной $\sum \limits _{p\geq k}{\left\lfloor {\frac {N}{p}}\right\rfloor }\leq \sum \limits _{p\geq k}{\frac {N}{p}}<{\frac {N}{2}}$ .

Каждое число из второго класса представимо в виде $a{b^{2}}$ , где $a$ свободно от квадратов, то есть является произведением какого-то набора простых чисел меньших $k$ . Кроме того, очевидно, $b\leq {\sqrt {N}}$ . Значит, таких чисел существует не более чем ${2^{k}}{\sqrt {N}}$ .

Рассмотрев это рассуждение для числа $N>2^{2k+2}$ можно получить, что общее количество чисел меньших $N$ будет ${\frac {N}{2}}+{2^{k}}{\sqrt {N}}<{\frac {N}{2}}+{\frac {N}{2}}=N$ , что приводит к противоречию, так как каждое число меньше $N$ , очевидно, принадлежит ровно к одному классу.

Доказал, что для $4\leq k<n$ и $l\geq 2$ уравнение $C_{n}^{k}=m^{l}$ не имеет решений в целых числах.
В арифметической комбинаторике получил первые результаты по теореме сумм-произведений , а в аддитивной комбинаторике впервые поставил вопросы, касающиеся множества разностей .

Комбинаторика

Вероятностный метод

Вместе с Дьёрдем Секерешем для диагональных чисел Рамсея доказал неравенство

(1+o(1)){\frac {s2^{s/2}}{{\sqrt {2}}e}}\leq R(s,s)\leq (1+o(1)){\frac {4^{s-1}}{\sqrt {\pi s}}}.

.

Теорема Эрдёша — Радо — обобщение теоремы Рамсея на бесконечные множества.

Теорема Эрдёша — Секереша : всякая последовательность различных вещественных чисел длины $(a-1)(b-1)+1$ содержит возрастающую подпоследовательность длины $a$ или убывающую длины $b$ .

Геометрия

Теорема де Брёйна — Эрдёша — проективный аналог теоремы Сильвестра .
Теорема Эрдёша — Эннинга — утверждение о том, что бесконечное множество точек на плоскости может иметь целые расстояния между точками множества лишь когда все точки лежат на одной прямой.
Теорема Эрдёша — Сёкефальви-Надя — утверждение о том, что многоугольник без самопересечений может быть преобразован в выпуклый многоугольник посредством конечного числа зеркальных отражений компонент связности выпуклой оболочки («карманов»).

Награды

См. также

Список математических утверждений и объектов, названных в честь Эрдёша

Примечания

↑ — 1994.
P. Erdös // (англ.)
Paul Erdös // Музей Соломона Гуггенхайма — 1937.
— С. 69.
↑ — С. 70.
(англ.) — 1997.
Newman, M. E. J. The structure of scientific collaboration networks. In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 2001.
, с. 64—66.
, с. 67—69.
, с. 71—73.
. Дата обращения: 14 мая 2019. 14 мая 2019 года.
(англ.) . stanford.edu (18 ноября 1992). Дата обращения: 25 июня 2019. Архивировано из 6 декабря 1998 года.
Marx György: A marslakók érkezése. Magyar tudósok, akik nyugaton alakították a 20. század történelmét , Akadémiai Kiadó Zrt., 2000.
Tudósportrék. Kardos István TV-sorozata, Kossuth Könyvkiadó, 1984, 261—274.
, с. 13.
Erdős, Paul ; Szemerédi, Endre (1983), (PDF) , Studies in Pure Mathematics. To the memory of Paul Turán , Basel: Birkhäuser Verlag, pp. 213—218, doi : , ISBN 978-3-7643-1288-6 , MR , Архивировано из (PDF) 24 мая 2013 , Дата обращения: 19 ноября 2018 .
P. Erd6s and R. L. Graham, Old and new problems and results in combinatorial number theory. Monographie № 28 de L’Enseignement Math6matique (Gen6ve, 1980), p. 58
(англ.) . John Simon Guggenheim Foundation . gf.org. Дата обращения: 7 апреля 2019. 7 июля 2019 года.

Литература

Руэ, Хуанхо. Вечный странник // Искусство подсчёта. Комбинаторика и перечисление (глава 3). — М. : Де Агостини , 2014. — 144 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 34). — ISBN 978-5-9774-0729-8 .
Мартин Айгнер , Гюнтер Циглер . Доказательства из книги. — М. : Мир , 2006. — 255 с. — ISBN 5-03-003690-3 .

Ссылки

Волков М. В. // МИФ. — 1998—1999. — № 2 .
Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон . (англ.) — биография в архиве MacTutor .
— документальный фильм об Эрдёше (1993), режиссёр — Джордж Пол Ксиксери

[_a368134319c6e092-1] — 1994.

[_1c07eaeada4b1baf-2] P. Erdös // (англ.)

[_8af6b4e6d1537919-3] Paul Erdös // Музей Соломона Гуггенхайма — 1937.

[_60aee56add309623-10] — С. 69.

[_7ac34f4f95743485-11] — С. 70.

[_78364be58135d367-12] (англ.) — 1997.

[13] Newman, M. E. J. The structure of scientific collaboration networks. In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 2001.

[_0019f7f10a3ff1c0-14] , с. 64—66.

[_4398532d6862416e-15] , с. 67—69.

[_aaa03fbd9e082bf0-16] , с. 71—73.

[17] . Дата обращения: 14 мая 2019. 14 мая 2019 года.

[18] (англ.) . stanford.edu (18 ноября 1992). Дата обращения: 25 июня 2019. Архивировано из 6 декабря 1998 года.

[19] Marx György: A marslakók érkezése. Magyar tudósok, akik nyugaton alakították a 20. század történelmét , Akadémiai Kiadó Zrt., 2000.

[20] Tudósportrék. Kardos István TV-sorozata, Kossuth Könyvkiadó, 1984, 261—274.

[_2f1282b217130b9c-21] , с. 13.

[Erdos-22] Erdős, Paul ; Szemerédi, Endre (1983), (PDF) , Studies in Pure Mathematics. To the memory of Paul Turán , Basel: Birkhäuser Verlag, pp. 213—218, doi : , ISBN 978-3-7643-1288-6 , MR , Архивировано из (PDF) 24 мая 2013 , Дата обращения: 19 ноября 2018 .

[23] P. Erd6s and R. L. Graham, Old and new problems and results in combinatorial number theory. Monographie № 28 de L’Enseignement Math6matique (Gen6ve, 1980), p. 58

[24] (англ.) . John Simon Guggenheim Foundation . gf.org. Дата обращения: 7 апреля 2019. 7 июля 2019 года.