Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем .

Определение

Случайный процесс ${\displaystyle W_{t}}$ , где ${\displaystyle t\geq 0}$ называется винеровским процессом, если

1. ${\displaystyle W_{0}=0}$ почти достоверно .
2. ${\displaystyle W_{t}}$ — процесс с независимыми приращениями .
3. ${\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim \mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(t-s))}$ , ${\displaystyle \forall 0\leq s<t<\infty }$ ,

где ${\displaystyle \mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(t-s))}$ – нормальное распределение со средним ${\displaystyle 0}$ и дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}(t-s)}$ . Величину ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ , постоянную для процесса, далее будем считать равной ${\displaystyle 1}$ .

Эквивалентное определение:

1. ${\displaystyle W_{t}}$ – гауссовский процесс .
2. ${\displaystyle \mathbb {E} W_{t}=0}$ , ${\displaystyle \forall t\geqslant 0}$ .
3. ${\displaystyle {\text{cov}}(W_{t},W_{s})=\min(t,s)}$ , ${\displaystyle \forall t,s\geqslant 0}$ .

Непрерывность траекторий

Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны . Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.

Свойства винеровского процесса

• ${\displaystyle W_{t}}$ — гауссовский процесс .
• ${\displaystyle W_{t}}$ — марковский процесс .
• ${\displaystyle W_{t}\sim \mathrm {N} (0,t)}$ . Соответственно ${\displaystyle \mathbb {E} [W_{t}]=0}$ и ${\displaystyle \mathrm {D} [W_{t}]=t}$ .

• ${\displaystyle \mathrm {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t)}$ .
• ${\displaystyle W_{t}}$ и ${\displaystyle \exp(W(t)-t/2)}$ - мартингалы. Здесь под мартингалом мы понимаем ${\displaystyle \mathbb {E} [W_{t}|W_{s},s\leqslant \tau ]=EW_{\tau }}$
• Если ${\displaystyle W_{t}}$ — винеровский процесс, то ${\displaystyle tW_{1/t},t>0}$ и ${\displaystyle 0,t=0}$ , также будет винеровским.

• Винеровский процесс масштабно инвариантен или самоподобен . Если ${\displaystyle W_{t}}$ — винеровский процесс, и ${\displaystyle c>0}$ , то

${\displaystyle V_{t}={\frac {1}{\sqrt {c}}}W_{ct}}$

также является винеровским процессом.

• Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией .

• Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное . Производная (в обобщённом смысле) винеровского процесса — нормальный белый шум .

• Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное .

• Для винеровского процесса справедлив закон повторного логарифма .

${\displaystyle \limsup \limits _{t\rightarrow \infty }{\frac {W_{t}}{\sqrt {2t\ln \ln t}}}=1}$ почти наверное .

• ${\displaystyle \int \limits _{0}^{t}W_{s}ds\sim N(0,t^{3}/3)}$

Многомерный винеровский процесс

Многомерный ( ${\displaystyle n}$ -мерный) винеровский процесс ${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$ — это ${\displaystyle \mathrm {R} ^{n}}$ -значный случайный процесс, составленный из ${\displaystyle n}$ независимых одномерных винеровских процессов, то есть

${\displaystyle \mathbf {W} _{t}=\left(W_{t}^{1},\ldots ,W_{t}^{n}\right)^{\top },\quad t\geq 0}$ ,

где процессы ${\displaystyle \left\{W_{t}^{i}\right\},\;i=1,\ldots ,n}$ совместно независимы .

Связь с физическими процессами

Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.

Ссылки

• — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

См. также

• Сосиска Винера
• Норберт Винер
• Формула Фейнмана — Каца
• Цвета шума