Interested Article - Ловер, Уильям

Уильям Ловер ( англ. Francis William Lawvere ; 9 февраля 1937 — 23 января 2023 ) — американский математик , известный благодаря работам по теории категорий , теории топосов и философии математики .

Образование

Будучи студентом изучал механику сплошных сред под руководством Клиффорда Трусделла . О теории категорий узнал во время изучения курса функционального анализа — из задачи в учебнике «Общая топология», где указывалось, что функториальный подход «может быть назван галактической теорией». В 1960 году Трусделл подписал заявку Ловера на перевод в Колумбийский университет под руководство сооснователя теории категорий Сэмюэля Эйленберга .

В 1963 году под руководством Эйленберга получил степень доктора философии . Перед защитой докторской диссертации провёл год в Университете Беркли , посещая лекции Альфреда Тарского и Даны Скотта по теории моделей и теории множеств . На своей первой преподавательской должности в Рид-колледже получил задание разработать курсы по анализу и общей алгебре, делающие упор на основания математики, в попытках использовать в курсе аксиоматическую теорию множеств , нашёл её неподходящей для начинающих студентов, поэтому вместо этого он придумал несколько аксиом для композиции отображений множеств. Позднее изложил эти аксиомы в работе «Элементарная теория категорий множеств» (1964), в которой были заложены некоторые идеи, лёгшие в основу будущей элементарной теории топосов .

Работа

В своей докторской диссертации изучил «категорию категорий» в качестве основы для семантики алгебраических теорий. В 1964—1967 годах продолжил работу над «категорией категорий» в высшей технической школе Цюриха . Особенно большое влияние на него оказали семинары Пьера Габриэля по основаниям алгебраической геометрии. После этого вместе с Маклейном преподавал в Университете Чикаго , а также в Университете Нью-Йорка. Его чикагские лекции по категорной динамике стали очередным шагом по направлению к теории топосов, как и нью-йоркские лекции по категорной логике, особенно с учётом его открытия, что кванторы существования и всеобщности можно охарактеризовать при помощи сопряжённых функторов .

Вернувшись в Цюрих, в 1968—1969 годах предложил элементарные (касающиеся логики первого порядка) аксиомы топосов, обобщив понятие топоса Гротендика и продолжил работу над упрощением и применением теории вместе с алгебраическим топологом . Тирни смог серьёзно упростить описание топологий Гротендика. Позднее Андерс Кок добился дальнейшего упрощения, так что топос мог быть описан как категория с произведениями и уравнителями, в которой могут быть представлены понятия пространства отображений и подобъекта. Ловер указал, что топология Гротендика может быть описана как эндоморфизм представителя подобъекта. Эти «Топологии» важны как в алгебраической геометрии, так и в теории моделей, поскольку они определяют подтопосы как категории пучков.

В 1972—1974 годах вёл семинар в итальянской Перудже , в рамках которого разрабатывал различные виды обогащённых категорий: например, метрическое пространство можно рассматривать как обогащённую категорию. С 1974 года вплоть до выхода на пенсию в 2000 году работал профессором математики в Университете Буффало , с 2000 года — почётный профессор математики в Буффало. В 2012 году стал действительным членом Американского математического общества .