Ляйтнер дебютировал за клуб «
Мюнхен 1860
» 14 августа 2010 года, когда вышел на замену в матче
Кубка Германии
против команды «Верль».
В январе 2011 года он перешёл в дортмундскую «
Боруссию
», с которой подписал контракт до 2015 года
, и сразу был отдан в аренду в «
Аугсбург
» до конца
сезона 2010/11
.
14 июня 2013 года Ляйтнер продлил контракт с «Боруссией» до 2017 года и был отдан в аренду «
Штутгарт
» на два года
.
В августе 2016 Ляйтнер перешёл в римский «
Лацио
»
. В январе 2017 года Мориц заключил контракт с «Аугсбургом» на 4,5 года
. Через год на правах аренды перешел в «
Норвич
»
.
7 августа 2021 года Ляйтнер подписал однолетний контракт с швейцарским клубом «
Цюрих
»
.