В математике говорят, что множество ${\displaystyle A}$ есть подмно́жество множества ${\displaystyle B}$ , если все элементы первого множества являются и элементами второго множества.

Определение

Множество ${\displaystyle A}$ называется подмножеством множества ${\displaystyle B}$ , если все элементы , принадлежащие ${\displaystyle A}$ , также принадлежат ${\displaystyle B}$ . Формальное определение:

${\displaystyle (A\subset B)\Leftrightarrow \left(\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)\right)\,}$

Существует две системы символических обозначений для подмножеств:

« ${\displaystyle A}$ является подмножеством ${\displaystyle B}$ (нестрогим)» обозначается	« ${\displaystyle A}$ является строгим подмножеством ${\displaystyle B}$ » обозначается	Примечание
${\displaystyle A\subseteq B}$	${\displaystyle A\subset B}$	Символ ${\displaystyle \subseteq }$ является аналогом ${\displaystyle \leq }$ , то есть в случае ${\displaystyle A\subseteq B}$ допускается равенство ${\displaystyle A=B}$ множеств; символ ${\displaystyle \subset }$ является аналогом ${\displaystyle <}$ , то есть в случае ${\displaystyle A\subset B}$ в ${\displaystyle B}$ есть элементы, которых нет в ${\displaystyle A}$ .
${\displaystyle A\subset B}$	${\displaystyle A\subsetneq B}$	Для понятия «(нестрогое) подмножество» используется более простой символ, так как оно считается более «фундаментальным».

Обе системы обозначений предусмотрены стандартом ISO 31-11 , но используют символ ${\displaystyle \subset }$ в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

Множество ${\displaystyle B}$ называется надмно́жеством множества ${\displaystyle A}$ , если ${\displaystyle A}$ является подмножеством множества ${\displaystyle B}$ .

То, что ${\displaystyle B}$ является надмножеством множества ${\displaystyle A}$ , записывают ${\displaystyle B\supset A}$ , то есть ${\displaystyle (A\subset B)\Leftrightarrow (B\supset A)\,.}$

Множество всех подмножеств множества ${\displaystyle A}$ обозначается ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ .

Множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются равными ${\displaystyle A=B}$ , только когда они состоят из одних и тех же элементов, то есть ${\displaystyle A\subseteq B}$ и ${\displaystyle B\subseteq A}$ .

Собственное и несобственное подмножество

Любое множество ${\displaystyle B}$ среди своих подмножеств содержит само себя и пустое множество . Само множество ${\displaystyle B}$ и пустое множество называют несобственными подмножествами , остальные подмножества называют собственными .

То есть, если мы хотим исключить само ${\displaystyle B}$ и пустое множество из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного подмножества, которое определяется так:

множество ${\displaystyle A}$ является собственным подмножеством множества ${\displaystyle B}$ , только если ${\displaystyle A\subset B}$ и ${\displaystyle A\neq B}$ , ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ .

Зарубежная литература

В зарубежной литературе несобственные подмножества в вышеуказанном смысле (само множество B и пустое множество) называют тривиальными , а собственные — нетривиальными , а термин « собственное подмножество » (proper subset) применяется в значении «строгое включение A в B » или «подмножество A , строго входящее в множество B , то есть такое, которому не принадлежит как минимум один элемент множества B », то есть здесь понятие « собственное подмножество » уже, наоборот, включает пустое множество.

В этом случае, если вдобавок нужно исключить из рассмотрения пустое множество, нужно использовать понятие нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:

множество ${\displaystyle A}$ является нетривиальным подмножеством множества ${\displaystyle B}$ , если ${\displaystyle A}$ является собственным подмножеством (proper subset) ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ .

Примеры

• Множества ${\displaystyle \varnothing ,~\{0\},~\{1,3,4\},~\{0,1,2,3,4,5\}}$ являются подмножествами множества ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}.}$
• Множества ${\displaystyle \varnothing ,~\{0,1,2,3,4,5\}}$ являются тривиальными (несобственными) подмножествами множества ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\},}$ все остальные подмножества из элементов множества — нетривиальными или собственными.
• Множества ${\displaystyle \{\varnothing ,\uparrow ,{\mbox{oca}}\},~\{\$,\%,*,\uparrow \},~\{\varnothing \},~\varnothing }$ являются подмножествами множества ${\displaystyle \{\$,\%,\varnothing ,\uparrow ,*,{\mbox{oca}}\}.}$
• Пусть ${\displaystyle A=\{a,b\}.}$ Тогда ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}.}$
• Пусть ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\;B=\{1,2,3\},\;C=\{4,5,6,7\}}$ . Тогда ${\displaystyle B\subset A,\;C\not \subset A,}$ а также ${\displaystyle \neg (C\subsetneq A)}$ (то есть C не является ни строгим, ни нестрогим подмножеством A ).

Свойства

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств .

• Отношение подмножества является отношением частичного порядка :
  • Отношение подмножества рефлексивно :

    ${\displaystyle B\subset B}$

  • Отношение подмножества антисимметрично :

    ${\displaystyle (A\subset B\;\land \;B\subset A)\Leftrightarrow (A=B)}$

  • Отношение подмножества транзитивно :

    ${\displaystyle (A\subset B\;\land \;B\subset C)\Rightarrow (A\subset C)}$

• Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества:

  ${\displaystyle \varnothing \subset B}$

• Для любых трёх множеств ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle X}$ таких, что ${\displaystyle A,B\subset X}$ , равносильны все следующие утверждения:
  • ${\displaystyle A\subset B;}$
  • ${\displaystyle A\cap B=A;}$
  • ${\displaystyle A\cup B=B;}$
  • ${\displaystyle X\setminus B\subset X\setminus A;}$
  • ${\displaystyle (A\cap X)\setminus B=\varnothing ;}$
  • ${\displaystyle A\cap (X\setminus B)=\varnothing ;}$
  • ${\displaystyle (X\setminus A)\cup B=X;}$
  • ${\displaystyle B^{\complement }\subset A^{\complement }}$

Подмножества конечных множеств

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у ${\displaystyle n}$ -элементного множества существует ${\displaystyle 2^{n}}$ подмножеств (включая пустое ). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет ${\displaystyle n}$ -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества ${\displaystyle n}$ -элементного множества из ${\displaystyle k\leq n}$ элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$ . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать ${\displaystyle n}$ способами, второй ${\displaystyle n-1}$ способом, и так далее, и, наконец, ${\displaystyle k}$ -й элемент можно выбрать ${\displaystyle n-k+1}$ способом. Таким образом мы получим последовательность из ${\displaystyle k}$ элементов, и ровно ${\displaystyle k!}$ таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдётся ${\displaystyle \textstyle {\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}}={\binom {n}{k}}}$ таких подмножеств.

Примечания

Литература

	В Викисловаре есть статья « »

• Н. К. Верещагин , А. Шень . Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. — 3-е изд., стереотип. — М. : МЦНМО, 2008. — 128 с. — ISBN 978-5-94057-321-0 .
• Биркгоф Г. , Барти Т. Современная прикладная алгебра. — М. : Мир, 1976. — 400 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .