Задача одной плитки ( англ. einstein problem ) — решённая геометрическая проблема поиска одной , которая образует , то есть фигуры, копиями которой можно замостить пространство, но только непериодичным способом. В источниках на английском языке такие фигуры называют «einsteins» — игра слов, нем. ein stein означает «один камень» , и так же записывается фамилия физика Альберта Эйнштейна .

Предыстория

Апериодический набор из 11 плиток Вана

Шесть плиток Робинсона

Две плитки Пенроуза

Задачу одной плитки можно рассматривать как естественное продолжение второй части , в которой задаётся вопрос о многограннике, копиями которого можно заполнить трёхмерное евклидово пространство , причём никакое заполнение пространства копиями этого многогранника не должно быть изоэдральным . Такие были найдены в 1928 году, но эти тела заполняют пространство периодическим образом.

В 1960-е годы логик Ван Хао рассмотрел проблему замощения плоскости квадратами с раскрашенными рёбрами ( плитки Вана ): можно ли замостить плоскость такими квадратами без поворотов и отражений так, чтобы квадраты соприкасались рёбрами одинакового цвета. Ван заметил, что если эта проблема алгоритмически неразрешима , то существует апериодический набор плиток Вана.

В 1966 году Роберт Бергер доказал, что проблема Вана алгоритмически неразрешима и нашел апериодический набор плиток Вана , состоящий из 20 426 плиток. Позже Бергер сократил свой набор до 104, а Ганс Лойхли впоследствии нашел апериодический набор, требующий всего 40 плиток Вана.

В дальнейшем были найдены апериодические наборы из меньшего числа плиток. В 1996 году Карел Чулик нашел набор из 13 плиток Вана, и наконец в 2015 году Э. Жанделем и М. Рао был найден набор из 11 плиток, и было доказано что для плиток Вана это минимально возможный апериодический набор.

В 1971 году Рафаэль М. Робинсон обнаружил апериодический набор состоящий из шести плиток, отличных от плиток Вана. В 1973 году Роджер Пенроуз открыл плитки Пенроуза уменьшив минимальное количество плиток необходимых непериодического замощения плоскости до двух. Вопрос о существовании апериодического набора состоящего только из одной протоплитки, долгое время оставался открытым.

Частичные решения

В 1988 году Петер Шмитт обнаружил непериодическую протоплитку для трёхмерного евклидова пространства. Хотя никакое заполнение этим телом не допускает параллельный перенос , некоторые заполнения имеют . Операция винтовой симметрии имеет вид композиции параллельного переноса и вращения на угол, несоизмеримый с π, так что никакое число повторений этих операций не приведёт к простому параллельному переносу. Эта конструкция была позднее использована Джоном Конвеем и Людвигом Данцером для построения выпуклой непериодической плитки, плитки Шмитта — Конвея — Данцера . Наличие винтовой симметрии явилось следствием требования непериодичности . Хаим Гудман-Штраусс предложил считать мозаики строго апериодичными , если для них не существует бесконечной циклической группы , являющихся симметриями мозаики, и называть строго апериодичными только те наборы плиток, которые приводят к строго апериодичным мозаикам, остальные наборы плиток тогда называются слабо апериодичными .

В 1996 году Петра Гуммельт построила десятиугольную плитку с рисунком и показала, что при разрешении двух типов перекрытия пар плиток ими можно замостить плоскость, причём только апериодичным образом . Обычно под мозаикой понимается заполнение без перекрытия, так что плитку Гуммельт нельзя считать апериодической протоплиткой.

В начале 2010-х годов Джошуа Соколар и Джоан Тейлор предложили апериодическое множество плиток на евклидовой плоскости, которое состоит только из одной плитки . Конструкция плитки Соколара — Тейлор вовлекает правила соединения, правила, ограничивающие относительную ориентацию двух плиток, и правила соединения рисунков на плитках, и эти правила применяются к парам несмежных плиток. Можно использовать плитки без рисунков и без правил ориентации, но тогда плитки не будут связными. Построение можно распространить на трёхмерное пространство с использованием связных плиток и без правил соединения, но эти плитки могут быть выложены с периодичностью в одном направлении, так что это лишь слабо непериодическая мозаика. Более того, плитки не односвязны.

Полное решение

«Шляпа»

В 2022 году математик-любитель Дэвид Смит обнаружил плитку в форме 13-угольной «шляпы» ( англ. hat ), состоящую из восьми копий дельтоида с углами 60°–90°–120°–90°, склеенных встык, которые, как казалось, могли непериодически замощать плоскость . Смит обратился за помощью к профессиональным математикам Дж. С. Майерсу, К. С. Каплану и Х. Гудман-Штрауссу, и в 2023 году они совместно опубликовали доказательство, что «шляпа» вместе с её зеркальным отражением образуют набор плиток, который замощает плоскость исключительно непериодически, что является решением задачи одной плитки . Более того, они нашли целое семейство протоплиток с таким свойством. Хотя работа ещё не прошла рецензирование, эксперты, которых опросил Science News , сообщили, что результат, вероятно, выдержит тщательную проверку .

«Привидение»

Найденное решение плиткой «шляпа» (как и всё бесконечное семейство плиток Смита—Майерса—Каплана—Гудман-Штраусса) имело один недостаток: для замощения плоскости некоторые плитки требовали переворота. Если запретить переворот, то в замощении участвовали две разные плитки, являющиеся зеркальным отражением друг друга, что не позволяло назвать решение задачи одной плитки в полной мере окончательным. Вскоре после своей недавней работы Смит с соавторами опубликовали описание ещё одной плитки, устранив этот недостаток. Их новая плитка, названная «привидением» ( англ. spectre ), допускает только апериодическое замощение плоскости без использования зеркально отражённой плитки, тем самым окончательно решив задачу одной плитки .

Примечания

Ссылки

• Petra Gummelt. Penrose Tilings as Coverings of Congruent Decagons // Geometriae Dedicata . — 1996. — Vol. 62. — Вып. 1 . — doi : .
• Marjorie Senechal. Quasicrystals and Geometry. — corrected paperback. — Cambridge University Press , 1996. — ISBN 0-521-57541-9 .
• Charles Radin. Aperiodic tilings in higher dimensions // Proceedings of the American Mathematical Society . — American Mathematical Society, 1995. — Vol. 123. — Вып. 11 . — doi : . — JSTOR .
• Chaim Goodman-Strauss. Open Questions in Tiling. — 2000. 18 апреля 2007 года. Архив:
• Joshua E. S. Socolar, Joan M. Taylor. An Aperiodic Hexagonal Tile // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 2011. — Vol. 118. — doi : . — arXiv : .