« Ars Magna » (с лат. — «Великое искусство») — книга на латинском языке по алгебре , написанная итальянским математиком Джероламо Кардано , крупнейшим алгебраистом XVI века . Впервые она была опубликована в 1545 году под названием Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis ( Великое искусство, или Правила алгебры ). При жизни Кардано было второе, дополненное издание, опубликованное в 1570 году. В этой книге была решена (в значительной степени) проблема, с которой два тысячелетия не могли справиться лучшие математики мира — нахождение в явном (алгебраическом) виде корней уравнений третьей и четвёртой степеней ( формулы Кардано ) .

Прикладное значение формул Кардано было не слишком велико, так как к этому моменту математики уже разработали численные методы для вычисления корней уравнений любой степени с хорошей точностью. Однако книга Кардано была первым трудом математика новой Европы, которая содержала не сводку ранее известных результатов, а открытие нового теоретического метода, неизвестного ни греческим , ни исламским математикам . Этот успех воодушевил математиков Европы на новые достижения, которые не замедлили последовать .

Формулы Кардано также стали основой для введения одного из важнейших математических объектов — комплексных чисел . Кроме того, книга Кардано начала долгую историю исследований по решению уравнений в радикалах , которая три столетия спустя привела Эвариста Галуа к созданию теории групп . Поэтому Ойстин Оре назвал этот труд началом современной алгебры и одним из трёх величайших научных книг раннего Возрождения — вместе с трактатами « О вращении небесных сфер » Коперника и « О строении человеческого тела » Везалия . Первые издания всех этих трёх книг вышли в период 1543–1545 годов и ознаменовали начало научной революции в математике , астрономии и медицине соответственно .

История

В 1535 году итальянский математик Никколо Тарталья прославился тем, что нашёл способ решения в явной форме кубических уравнений вида ${\displaystyle x^{3}+ax=b}$ и ${\displaystyle x^{3}=ax+b,}$ где ${\displaystyle a,b>0}$ (отрицательные числа тогда считались недопустимыми, поэтому эти два типа уравнений рассматривались как существенно различные). Первый из этих двух типов уравнений сумел решить несколько ранее дель Ферро , который сохранил свой метод в тайне, однако Тарталья независимо сделал аналогичное открытие и расширил этот метод на оба указанных типа уравнений .

В 1539 году миланский математик Джероламо Кардано попросил Тарталью раскрыть ему свой метод. После некоторого сопротивления Тарталья согласился, но попросил Кардано ни с кем не делиться этой информацией, пока он сам её не опубликует. В течение следующих нескольких лет, Кардано работал над тем, как распространить формулу Тартальи на другие типы кубических уравнений. Более того, его ученик Лодовико Феррари нашёл способ решения уравнений четвёртой степени . Поскольку Тарталья не предпринял никаких усилий по публикации своего метода (и, кроме того, обнаружился приоритет дель Ферро), Кардано счёл себя свободным от обязательств и опубликовал собственный труд, честно указав при этом на авторство Тартальи и дель Ферро. Тем не менее исторически за этим алгоритмом закрепилось название « формулы Кардано » .

Содержание труда

Книга, разделённая на сорок глав, содержит подробное описание способа алгебраического решения кубических уравнений , а также, с помощью вспомогательного кубического уравнения, и четвёртой степени . В предисловии Кардано признал, что автором формулы является Тарталья, и что эта же формула была открыта дель Ферро . Он также сообщил, что способ решения уравнений четвёртой степени открыл его ученик Феррари .

В Ars Magna впервые появляется понятие кратного корня (глава I). Кардано знал о возможности для кубического уравнения иметь три вещественных корня, а также о том, что сумма этих корней равна (по абсолютной величине) коэффициенту при ${\displaystyle x^{2}}$ (одна из формул Виета ) . Отрицательные корни Кардано, в духе того времени, называет «фиктивными» ( fictae ), хотя учитывал их при анализе уравнений и иногда использовал их как промежуточное средство для получения «истинного» (положительного) результата. Задолго до Декарта он сформулировал « правило знаков » . Ему известен и факт, позднее обобщённый и названный теоремой Безу : многочлен ${\displaystyle p(x)}$ делится без остатка на двучлен ${\displaystyle x-r,}$ где ${\displaystyle r}$ — один из корней ${\displaystyle p(x)}$ .

В начале трактата Кардано объясняет, как привести кубическое уравнение общего вида: ${\displaystyle ax^{3}\pm bx^{2}\pm cx\pm d=0}$ к каноническому виду (без члена ${\displaystyle bx^{2}}$ ). Поскольку в то время отрицательные коэффициенты не признавались, ему пришлось рассмотреть тринадцать различных типов кубических уравнений (главы XI – XXIII). В следующих главах, вплоть до главы XXXVIII, приводятся методы приближённого численного решения кубического уравнения методом хорд .

В современной записи формула Кардано для трёх корней уравнения ${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$ имеет вид:

${\displaystyle x_{1,2,3}={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},}$

Кардано, как ранее Тарталья, оставляет открытым вопрос, что делать с кубическим уравнением, для которого ${\displaystyle q^{2}/4+p^{3}/27<0,}$ из-за чего под знаком квадратного корня получается отрицательное число. Например, в главе I приводится уравнение ${\displaystyle x^{3}+9=12x}$ , для которого ${\displaystyle q^{2}/4+p^{3}/27=-175.}$ Однако Кардано никогда не применял свою формулу в подобных случаях. Парадоксально, но как раз этот, «самый комплексный» случай, соответствует «самому вещественному» набору корней уравнения — все три корня получаются вещественными. Вскоре анализ этой ситуации (названной Casus irreducibilis , «неприводимый случай») привёл к началу легализации нового класса чисел; арифметика комплексных чисел впервые была раскрыта в «Алгебре» Бомбелли (1572) и в трактате Альбера Жирара «Новое открытие в алгебре» (1629) .

Ars Magna содержит первое появление в математике комплексных чисел (глава XXXVII), однако оно ещё не было связано с формулами Кардано. Кардано поставил следующую задачу : найти два числа ${\displaystyle a,b}$ , сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Ответ: ${\displaystyle a=5+{\sqrt {-15}};b=5-{\sqrt {-15}}.}$ Кардано назвал это решение «софистическим», потому что не видел в нём никакого реального смысла, но смело написал «тем не менее, мы будем работать» и формально подсчитал, что их произведение действительно равно 40. Затем Кардано говорит, что этот ответ «столь же тонок, сколь и бесполезен».

Глава XXXIX посвящена уравнениям четвёртой степени, для которых аналогично рассматриваются 20 разновидностей с положительными коэффициентами.

Текст в интернете

• (лат.)
• Cardano, Gerolamo . . — Dover, 1993. — 308 p. — ISBN 0-486-67811-3 . (англ.)

Примечания

Литература

• Гиндикин С. Г. Великое искусство // Рассказы о физиках и математиках. — издание 3-е, расширенное. — М. : МЦНМО , 2001. — С. 8—42. — 448 с. — ISBN 5-900916-83-9 .
• Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. Джироламо Кардано. — М. : Знание , 1980. — 192 с. — ( Творцы науки и техники ).
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. I. — 352 с.
• Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI—XVII веков. — М. : Наука , 1979. — С. 42—88. — 208 с. — (История науки и техники).
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М. : Изд. МГУ, 1960—1963. — Т. 1.

Ссылки

• (неопр.) . История математики . Дата обращения: 22 апреля 2021.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон . (англ.) — биография в архиве MacTutor .