Теорема Дезарга является одной из основных теорем проективной геометрии .

Формулировки

Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой.

Обратное тоже верно:

Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку.

Замечания

• Эти две теоремы являются двойственными по отношению друг к другу, и иногда объединяются в единую теорему, которая формулируется так: «Два треугольника имеют центр перспективы тогда и только тогда, когда они имеют ось перспективы ».
• Теорема Дезарга выполняется не во всех проективных плоскостях . Плоскости, в которых теорема выполняется, называются дезарговыми. Например, вещественная проективная плоскость дезаргова, а плоскость Молтона — недезаргова.

О доказательствах

• Одно из самых распространённых доказательств основывается на переходе в трёхмерное пространство — достаточно представить оба треугольника двумя сечениями трёхгранной пирамиды. Вся картина при этом рассматривается как проекция на плоскость пространственной структуры.
• Другое доказательство состоит в применении проективного преобразования, которое переводит две из пересечений продолжений сторон на идеальную прямую. После этого остаётся доказать параллельность третьей пары сторон. Последнее легко видеть из подобия треугольников.
• Ещё одно доказательство состоит в трёхкратном использовании теоремы Менелая .

Вариации и обобщения

Понселе основал на теореме Дезарга свою изящную теорию гомологических фигур . Он называл два треугольника, о которых идет речь в теореме Дезарга, гомологическими, точку пересечения прямых, соединяющих попарно их вершины — центром гомологии, а прямую, на которой попарно пересекаются их стороны, — осью гомологии.

Понселе дал следующую теорему для геометрии в пространстве, как соответствующую теореме Дезарга на плоскости:

Эта теорема может быть обобщена ещё далее следующим образом:

Конфигурация Дезарга

Точки и прямые в теореме Дезарга образуют так называемую конфигурацию Дезарга . Здесь через каждую из 10 точек проходят 3 прямые и на каждой из 10 прямых лежат 3 точки. При этом любая из 10 точек может быть принята за «вершину трёхгранной пирамиды» («дезаргову точку») в приведённом выше доказательстве. Любая прямая может быть взята как «дезаргова прямая». Фиксирование дезарговой точки или дезарговой прямой полностью определяет всю конфигурацию.

Теорема Дезарга и аксиоматика проективной геометрии

При построении проективной геометрии плоскости без выхода в трёхмерное пространство, теорема Дезарга не выводится из основных аксиом проективной плоскости . Это означает, что возможно построить проективную плоскость, где теорема Дезарга неверна. Например, плоскость Кэли — проективная плоскость над алгеброй Кэли ${\displaystyle \mathbb {O} }$ не является дезарговой (см. также недезаргова геометрия ).

При построении дезарговой проективной плоскости утверждение теоремы Дезарга добавляют к системе аксиом проективной плоскости в качестве ещё одной аксиомы.

История

Теорема Дезарга была открыта французским геометром Дезаргом : она, вместе с двумя другими, из которых одна есть её обратная, была помещена в конце сочинения Traité de perspective , составленного Боссом согласно началам и методу Дезарга и появившегося в 1636 году. В этом сочинении было отмечено, что это утверждение очевидно, когда треугольники находятся в двух разных плоскостях; рассмотрение же случая, когда они лежат в одной плоскости, доставляет один из первых примеров употребления теоремы Менелая у новых геометров. Известность теорема Дезарга получила в начале XIX века благодаря её употреблению в работах Брианшона и Понселе .

См. также

• Теорема Паппа

Примечания

Ссылки

• Шаль, Мишель . . Т. 1, § 28. М., 1883.
• Коксетер Г. С. М. , Грейтцер С. П. . — М. : Наука , 1978. — Т. 14. — ( Библиотека математического кружка ).
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М. : МЦНМО , 2004. — С. 74-76. — ISBN 5-94057-170-0 .