Interested Article - Статистика Ферми — Дирака

Статистическая физика
Термодинамика
Молекулярно-кинетическая теория
См. также: Портал:Физика

Статистика Фе́рми — Дира́ка — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином , подчиняющихся принципу Паули : одно квантовое состояние не может быть занято более чем одной частицей). Определяет вероятность , с которой данный энергетический уровень системы, находящейся в термодинамическом равновесии, оказывается занятым фермионом .

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц с энергией есть

,

где кратность вырождения (число состояний частицы с энергией ), химический потенциал (при нуле температуры равен энергии Ферми ), постоянная Больцмана , — абсолютная температура .

В идеальном ферми-газе при низких температурах . В этом случае, если , функция числа (доли) заполнения уровней частицами называется функцией Ферми :

Указанная статистика предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком , который выяснил её квантово-механический смысл. В 1927 статистика была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле .

Свойства статистики Ферми — Дирака

Функция Ферми — Дирака. С ростом температуры ступенька размывается, а заполнение состояний с энергиями выше растёт.

Функция Ферми — Дирака обладает следующими свойствами:

  • безразмерна;
  • принимает вещественные значения в диапазоне от 0 до 1;
  • убывает с энергией, резко спадая вблизи энергии, равной химическому потенциалу;
  • при абсолютном нуле имеет вид ступеньки со скачком от 1 до 0 при , а при подъёме температуры скачок заменяется всё более плавным спадом;
  • при всегда независимо от температуры.

Математический и физический смысл

Функцией Ферми — Дирака задаются числа заполнения ( англ. occupancy factor ) квантовых состояний. Хотя она нередко называется «распределением», с точки зрения аппарата теории вероятностей она не является ни функцией распределения , ни плотностью распределения . В отношении этой функции, скажем, не может ставиться вопрос о нормировке .

Давая информацию о проценте заполненности состояний, функция ничего не говорит о наличии этих состояний. Для систем с дискретными энергиями набор их возможных значений задаётся перечнем , и т.д., а для систем с непрерывным спектром энергий состояния характеризуются « плотностью состояний » (Дж -1 или Дж -1 м -3 ). Функция

является плотностью распределения (Дж -1 ) частиц по энергии и нормирована. Для краткости, аргумент опущен. В наиболее традиционных случаях .

Классический (максвелловский) предел

При высоких температурах и/или низких концентрациях частиц статистика Ферми — Дирака (равно как и статистика Бозе — Эйнштейна ) переходят в статистику Максвелла — Больцмана . А именно, в таких условиях

.

После подстановки плотности состояний и интегрирования по от 0 до выражение для примет вид

.

Это и есть плотность распределения Максвелла (по энергиям).

Распределением Максвелла (особенно хорошо работающим применительно к газам) описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурации «частица в состоянии 1 и частица в состоянии 2» и «частица в состоянии 1 и частица в состоянии 2» считаются разными.

Применение статистики Ферми — Дирака

Характеристика сферы применения

Статистики Ферми — Дирака, а также Бозе — Эйнштейна применяются в тех случаях, когда необходимо учитывать квантовые эффекты и «неразличимость» частиц. В парадигме различимости оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии , что известно как парадокс Гиббса . Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы.

Статистика Ферми — Дирака относится к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), а статистика Бозе — Эйнштейна — к бозонам . Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц (где — число частиц, — объём, — квантовая концентрация). Квантовой называется концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля , то есть волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры.

Конкретные примеры

Статистика Ферми — Дирака часто используется для описания поведения ансамбля электронов в твёрдых телах; на ней базируются многие положения теории полупроводников и электроники в целом. Например, концентрация электронов ( дырок ) в зоне проводимости ( валентной зоне ) полупроводника в равновесии рассчитывается как

,

где ( ) — энергия дна зоны проводимости ( потолка валентной зоны ). Формула для туннельного тока между двумя областями, разделёнными квантовым потенциальным барьером , имеет общий вид

,

где коэффициент прозрачности барьера, а , — функции Ферми — Дирака в областях слева и справа от барьера.

Вывод распределения Ферми — Дирака

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Пусть энергия такой частицы равна . Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля , функция распределения имеет вид

где — энергия состояния , — число частиц, находящихся в состоянии , химический потенциал , — индекс, пробегающий все возможные микросостояния системы.

В данном контексте система имеет фиксированные состояния. Если какое либо состояние занято частицами, то энергия системы — . Если состояние свободно, энергия имеет значение 0 . Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар . После того, как система и резервуар займут одно и то же физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов , каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся и соответственно. Видно, что , , и , . Поэтому функция распределения принимает вид:

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии вычисляется по формуле

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии , вероятность которого

называется распределением Ферми — Дирака . Для фиксированной температуры , есть вероятность того, что состояние с энергией будет занято фермионом.

Учтём, что энергетический уровень имеет вырождение . Теперь можно произвести простую модификацию:

Здесь — ожидаемая доля частиц во всех состояниях с энергией .

Уточнение влияния температуры

Для систем, имеющих температуру ниже , а иногда (не вполне правомерно) и для более высоких температур используется аппроксимация . Но в общем случае химический потенциал зависит от температуры — и в ряде задач эту зависимость целесообразно учитывать. Функция представляется с любой точностью степенным рядом по чётным степеням отношения :

.

См. также

Источник —

Same as Статистика Ферми — Дирака