Теорема Бо́рсука — У́лама — классическая теорема алгебраической топологии , утверждающая, что всякая непрерывная функция , отображающая ${\displaystyle n}$ -мерную сферу в ${\displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство для некоторой пары имеет общее значение. Неформально утверждение известно как «теорема о температуре и давлении»: в любой момент времени на поверхности Земли найдутся антиподальные точки с равной температурой и равным давлением ; одномерный случай обычно иллюстрируют двумя диаметрально противоположными точками экватора с равной температурой.

Впервые утверждение встречается у Люстерника и Шнирельмана в работе 1930 года ; первое доказательство опубликовано в 1933 году Борсуком , который сослался на Улама как автора формулировки.

Формулировка

Для непрерывной функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ , где ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ — сфера в ${\displaystyle (n+1)}$ -мерном евклидовом пространстве , существуют такие две диаметрально противоположные точки ${\displaystyle a,-a\in \mathbb {S} ^{n}}$ , что ${\displaystyle f(a)=f(-a)}$ .

Вариации и обобщения

• Эквивалентное утверждение — теорема об общем нуле : всякая нечётная (относительно диаметральной противоположности) непрерывная функция ${\displaystyle g\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ из ${\displaystyle n}$ -мерной сферы в ${\displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство в одной из точек ${\displaystyle a\in \mathbb {S} ^{n}}$ обращается в нуль: ${\displaystyle g(a)=0}$ . Эквивалентность устанавливается введением для непрерывной функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ нечётной функции ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)}$ . В одномерном случае теорема об общем нуле непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении ; общее доказательство использует (алгебраико-топологический вариант), либо выводится из леммы Такера ( комбинаторный вариант; лемма Такера при этом считается комбинаторным аналогом теоремы Борсука — Улама).

• В 1954 году Абрам Ильич Фет обобщил результат : утверждение теоремы имеет место не только для соотношения антиподов, но и для произвольной инволюции ${\displaystyle n}$ -мерной сферы, то есть, для всякой инволюции ${\displaystyle ^{*}\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n}}$ и любой непрерывной функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ найдётся такая точка ${\displaystyle a\in \mathbb {S} ^{n}}$ , что ${\displaystyle f(a)=f(a^{*})}$ .

Примечания

Литература

• K. Borsuk. Drei Sätze über die ${\displaystyle n}$ -dimensionale euklidische Sphäre (нем.) // Fund. Math.. — 1933. — Bd. 20 . — S. 177—190 .
• F. E. Su. (англ.) // Amer. Math. Monthly. — 1997. — Vol. 104 . — P. 855—859 .
• М. Крейн , . // Квант . — 1983. — № 8 . — С. 20—25 .