Закон движения — математическая формулировка того, как движется тело или как происходит движение более общего вида или набор зависимостей, которые выявляют все данные о движении точки.

В классической механике материальной точки закон движения представляет собой три зависимости трёх пространственных координат от времени, либо зависимость одной векторной величины ( радиус-вектора ) от времени, вида

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}(t)=x(t){\vec {e}}_{x}+y(t){\vec {e}}_{y}+z(t){\vec {e}}_{z}}$ .

Закон движения может быть найден, в зависимости от задачи, либо из дифференциальных законов механики (см. Законы Ньютона ), либо из интегральных (см. Закон сохранения энергии , Закон сохранения импульса ), либо из так называемых вариационных принципов.

Частные случаи

Равномерное прямолинейное движение

Простейшим случаем движения материальной точки является равномерное и прямолинейное движение, то есть движение с постоянной по модулю и направлению скоростью . В этом случае её закон движения выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}t}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ — радиус-вектор, характеризующий положение точки в момент времени ${\displaystyle t=0}$ , ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — вектор скорости материальной точки.

Если ось x выбрать направленной вдоль направления вектора скорости, а в качестве нуля выбрать положение материальной точки в момент времени ${\displaystyle t=0}$ , то закон принимает особо простую форму:

${\displaystyle x(t)=vt}$ ,

где ${\displaystyle v}$ — модуль вектора скорости материальной точки.

Равноускоренное прямолинейное движение

Другим важным частным случаем является прямолинейное движение с постоянным ускорением . В этом случае закон движения имеет вид:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ — вектор скорости материальной точки в момент времени ${\displaystyle t=0}$ , ${\displaystyle {\vec {a}}}$ — вектор ускорения материальной точки.

Если ось x выбрать направленной вдоль направления вектора ускорения, а в качестве нуля выбрать положение материальной точки в момент времени ${\displaystyle t=0}$ , то закон принимает более простую форму:

${\displaystyle x(t)=v_{0x}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$ ,

где ${\displaystyle v_{0x}}$ — проекция вектора скорости материальной точки на ось x в момент времени ${\displaystyle t=0}$ , ${\displaystyle a}$ — модуль вектора ускорения материальной точки.

Равномерное движение по окружности

При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью (или, что то же самое с постоянной угловой скоростью) вектор ускорения направлен строго перпендикулярно вектору скорости в сторону центра окружности. В этом случае закон движения может быть записан в следующем виде:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {a_{n}{\vec {n}}(t)t^{2}}{2}}}$ ,

где ${\displaystyle a_{n}}$ — так называемое нормальное ускорение , ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — единичный вектор нормали к круговой траектории движущейся точки, направленный к центру окружности, то есть ${\displaystyle ({\vec {v}}\cdot {\vec {n}})=0}$ . Величина ${\displaystyle a_{n}}$ постоянна и равна ${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}=\omega ^{2}R}$ . Вектор ${\displaystyle {\vec {n}}}$ равномерно вращается с угловой скоростью ${\displaystyle \omega ={\frac {v}{R}}}$ , где R — радиус окружности, по которой движется материальная точка.

Удобнее при рассмотрении движения по окружности перейти к угловым переменным: углу ${\displaystyle \varphi }$ , угловой скорости ${\displaystyle \omega }$ и угловому ускорению ${\displaystyle \varepsilon }$ . В этих переменных закон равномерного движения по окружности принимает следующий вид:

${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{0}+\omega t}$

Равноускоренное движение по окружности

При равноускоренном движении по окружности вектор ускорения меняет как своё направление, так и величину модуля. Постоянным остаётся только так называемая тангенциальная составляющая ускорения, равная проекции вектора ускорения на прямую, вдоль которой направлен вектор скорости (эта же прямая является касательной к окружности, по которой движется материальная точка). Закон движения может быть при этом записан в следующем виде:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {\left(a_{n}(t){\vec {n}}(t)+a_{\tau }{\vec {s}}(t)\right)t^{2}}{2}}}$ ,

где ${\displaystyle a_{\tau }}$ — тангенциальное ускорение , ${\displaystyle {\vec {s}}}$ — единичный вектор касательной к окружности. Величина ${\displaystyle a_{\tau }}$ остаётся постоянной, величина ${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}(t)}{R}}}$ изменяется с изменением модуля скорости, вектора ${\displaystyle {\vec {n}}}$ и ${\displaystyle {\vec {s}}}$ вращаются с переменной угловой скоростью ${\displaystyle \omega (t)={\frac {v(t)}{R}}}$ .

В угловых переменных закон равноускоренного движения по окружности имеет более простой вид:

${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{0}+\omega _{0}t+{\frac {\varepsilon t^{2}}{2}}}$ ,

где ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {a_{\tau }}{R}}}$ .

Литература

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М. : Наука , 1979. — Т. I. Механика. — 520 с.