Инве́рсия (от лат. inversio «обращение») относительно окружности — преобразование евклидовой плоскости , переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Определение

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность ${\displaystyle \Gamma }$ с центром ${\displaystyle O}$ (называемым полюсом инверсии , или центром инверсии , эта точка выколота) и радиусом ${\displaystyle R}$ . Инверсия точки ${\displaystyle P}$ относительно ${\displaystyle \Gamma }$ есть точка ${\displaystyle P'}$ , лежащая на луче ${\displaystyle OP}$ такая, что

${\displaystyle |OP'|\cdot |OP|=R^{2}.}$

Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю и обратно.

Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» ${\displaystyle \infty }$ и считают её инверсным образом ${\displaystyle O}$ , а ${\displaystyle O}$ — инверсным образом ${\displaystyle \infty }$ . В этом случае инверсия является биективным преобразованием этой расширенной «круговой плоскости» .

Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.

Определение инверсии кривой через подеру и полярное преобразование кривой

Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой , показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее два утверждения :

• инверсия кривой есть антиподера этой кривой с последующим полярным преобразованием кривой , окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом антиподеры;
• инверсия кривой есть подера полярного преобразования этой кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры.

Свойства

Инверсия относительно окружности ${\displaystyle \Gamma }$ с центром O обладает следующими основными свойствами:

• Инверсия является инволюцией : если точка P переходит в точку Q , то и точка Q переходит в точку P .
• Прямая, проходящая через O , переходит в себя.
• Прямая, не проходящая через O , переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O ; и обратно, окружность, проходящая через O , переходит в прямую, не проходящую через O .
• Окружность, не проходящая через O , переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
• Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию ).

• Инверсия относительно окружности Аполлония , определяемой равенством ${\displaystyle k={\tfrac {PA}{PB}}}$ , меняет местами точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ .
• Окружность или прямая, перпендикулярная к ${\displaystyle \Gamma }$ , переходит в себя.
• Для того, чтобы точки ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle z*}$ были симметричными относительно окружности ${\displaystyle \Gamma }$ , необходимо и достаточно, чтобы любая окружность на расширенной комплексной плоскости , через них проходящая, была ортогональна ${\displaystyle \Gamma }$

Замечание

• В теории окружностей и инверсии две окружности, пересекающиеся под прямым углом , называются ортогональными ( перпендикулярными ). Окружности можно считать ортогональными , если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведёнными в точке их пересечения.
• В теории окружностей и инверсии прямая перпендикулярна к окружности ${\displaystyle \Gamma }$ , если она проходит через центр последней.

Построение

Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом :

• Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P' .
• Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP , а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P' .
• Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой.

Координатные представления

Декартовы координаты

Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением

${\displaystyle (x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)}$ .

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой ${\displaystyle z=x+iy}$ , то это выражение можно представить в виде

${\displaystyle z\mapsto ({\bar {z}})^{-1}}$ ,

где ${\displaystyle {\bar {z}}}$ — комплексно сопряжённое число для ${\displaystyle z}$ . Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной , откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае инверсия относительно окружности с центром в точке ${\displaystyle O=(x_{0},y_{0})}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ задаётся соотношением

${\displaystyle (x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right)}$ .

Полярные координаты

Инверсия относительно окружности радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в начале координат задаётся соотношением

${\displaystyle (\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )}$ .

Приложения

• Применением инверсии решаются
  • задача Аполлония ,
  • тождество Птолемея .

• На свойствах инверсии основан механизм Липкина — Посселье .

• Применением инверсии доказывается теорема Мора — Маскерони , которая утверждает, что все построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки, можно сделать с помощью одного циркуля (прямая считается построенной, если известны две её точки)

• Существует доказательство свойств окружности Аполлония , основанное на свойстве инверсии.

• При помощи инверсии доказывается поризм Штейнера : в доказательстве используется тот факт, что для любых непересекающихся окружностей существует инверсия, превращающая их в концентрические.

• При помощи инверсии доказывается то, что равны две архимедовы окружности-близнецы в арбелосе .

• При помощи инверсии доказываются свойства окружностей в поризме Паппа Александрийского .

• При помощи инверсии доказывается Теорема о бабочке .

Вариации и обобщения

Инверсия относительно конического сечения

Можно определить инверсию относительно произвольного невырожденного конического сечения , с той лишь разницей, что величина ${\displaystyle R}$ будет (переменным) расстоянием от центра ${\displaystyle O}$ соответствующей кривой (в случае эллипса и гиперболы ) до точек пересечения этой кривой с прямой ${\displaystyle OP}$ .

В случае инверсии относительно гиперболы, в зависимости от сектора, в котором находится точка ${\displaystyle P}$ между асимптотами , возможен случай, когда прямая ${\displaystyle OP}$ не пересекается с гиперболой. Тогда для вычисления ${\displaystyle R}$ берётся точка пересечения этой прямой с сопряжённой гиперболой (если только точка ${\displaystyle P}$ не лежит на асимптоте), а соответствующая величина ${\displaystyle R^{2}}$ берётся со знаком минус, то есть луч ${\displaystyle OP'}$ направляется в сторону, противоположную лучу ${\displaystyle OP}$ .

Инверсия относительно параболы — это просто симметричное отражение относительно неё вдоль прямой, параллельной оси параболы.

Альтернативное определение — инверсия относительно конического сечения ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ как середина хорды , высекаемой полярой точки ${\displaystyle P}$ относительно ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ . Однако в случае, когда соответствующая поляра не пересекает ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ , для полноты определения приходится применять это, частичное, определение в обратную сторону (то есть ${\displaystyle P'}$ — это такая точка, что ${\displaystyle P}$ является серединой хорды, высекаемой полярой ${\displaystyle P'}$ на ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ), что не всегда удобно.

См. также

• Инверсия кривой

Примечания

Ссылки

• Ануфриенко С. А. .
• Бакельман И. Я. . Популярные лекции по математике , Вып. 44, М., Наука, 1966.
• Жижилкин И. Д. .. — М. : МЦНМО, 2009.
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? . — М. : МЦМО, 2000. — С. Гл. III, § 4.. — ISBN 5–900916–45–6.

В сносках к статье найдены неработоспособные вики-ссылки . Исправьте короткие примечания , установленные через шаблон {{ sfn }} или его аналоги, в соответствии с инструкцией к шаблону, или добавьте недостающие публикации в раздел источников. Список сносок: