где
— произвольное
вещественное число
(в общем случае комплексное), называемое
порядком
.
Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции
целых
порядков.
Хотя
и
порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была
гладкой
по
).
распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Функция Бесселя является обобщением функции синуса. Ее можно трактовать как колебание струны с переменной толщиной, переменным натяжением (или одновременно обоими условиями); колебаниями в среде с переменными свойствами; колебаниями дисковой мембраны и т. д.
Определения
Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два
линейно независимых
решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.
Функции Бесселя первого рода
Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми
, являются решения, конечные в точке
при целых или неотрицательных
. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в
ряд Тейлора
около нуля (или в более общий
степенной ряд
при нецелых
):
Здесь
— это
гамма-функция Эйлера
, обобщение
факториала
на нецелые значения. График функции Бесселя похож на
синусоиду
, колебания которой затухают пропорционально
, хотя на самом деле
нули функции
расположены не периодично (однако расстояние между двумя последовательными нулями стремится к
при
)
.
Ниже приведены графики
для
:
Если
не является целым числом, функции
и
линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если
целое, то верно следующее соотношение:
Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).
Интегралы Бесселя
Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений
, используя интегральное представление:
Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:
Для нахождения интегрального представления функции Бесселя в случае нецелых
необходимо учесть, что имеется разрез вдоль оси абсцисс. Это вызвано тем, что подынтегральное выражение более не является
-периодическим. Таким образом, контур интегрирования разбивается на 3 участка: луч от
до
, где
, окружность единичного радиуса и луч от
до
при
. Проделав несложные математические преобразования, можно получить следующее интегральное представление:
Нетрудно убедиться, что при целых
это выражение переходит в предыдущую формулу.
Функции Неймана
Функции Неймана — решения
уравнения Бесселя, бесконечные в точке
.
Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:
Ниже приведён график
для
:
В ряде книг функции Неймана обозначаются
.
Сферические функции Бесселя
При решении
уравнения Гельмгольца
в сферических координатах методом разделения переменных уравнение на радиальную часть имеет вид
Два линейно-независимых решения называются
сферическими функциями Бесселя
j
n
и
y
n
, и связаны с обычными функциями Бесселя
J
n
и Неймана
Y
n
с помощью
y
n
также обозначается
n
n
или
η
n
; некоторые авторы называют эти функции
сферическими функциями Неймана
.
Сферические функции Бесселя также могут быть записаны как (
формула Релея
)
В следующих формулах
f
n
может быть заменено на
j
n
,
y
n
,
h
(1)
n
,
h
(2)
n
, где
h
(1)
n
и
h
(2)
n
— сферические функции Ханкеля, для
n
= 0, ±1, ±2, ...
:
Свойства
Ортогональность
Пусть
— нули функции Бесселя
. Тогда
:
.
Асимптотика
Для функций Бесселя первого и второго рода известны
асимптотические
формулы. При малых аргументах
и неотрицательных
они выглядят так
:
Использование следующего члена асимптотического разложения позволяет значительно уточнить результат. Для функции Бесселя нулевого порядка он выглядит следующим образом:
Ватсон Г. .
Теория бесселевых функций. —
М.
:
ИЛ
, 1949.
Бейтмен Г., Эрдейи А. .
Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены
// Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. —
М.
:
Наука
, 1974. — 296 с.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. .
Методы теории функций комплексного переменного. —
М.
:
Наука
, 1973. — 736 с.