Interested Article - Функции Бесселя

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций , являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

где — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком .

График функций Бесселя первого рода

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя и порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли , а названы в честь Фридриха Бесселя .

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

  • электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе ;
  • в цилиндрических объектах;
  • формы колебания тонкой круглой мембраны;
  • распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
  • скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
  • волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Функция Бесселя является обобщением функции синуса. Ее можно трактовать как колебание струны с переменной толщиной, переменным натяжением (или одновременно обоими условиями); колебаниями в среде с переменными свойствами; колебаниями дисковой мембраны и т. д.

Определения

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке при целых или неотрицательных . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ):

Здесь — это гамма-функция Эйлера , обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду , колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично (однако расстояние между двумя последовательными нулями стремится к при ) .

Ниже приведены графики для :

График функции Бесселя первого рода J
График функции Бесселя первого рода J

Если не является целым числом, функции и линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если целое, то верно следующее соотношение:

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы Бесселя

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений , используя интегральное представление:

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

Для нахождения интегрального представления функции Бесселя в случае нецелых необходимо учесть, что имеется разрез вдоль оси абсцисс. Это вызвано тем, что подынтегральное выражение более не является -периодическим. Таким образом, контур интегрирования разбивается на 3 участка: луч от до , где , окружность единичного радиуса и луч от до при . Проделав несложные математические преобразования, можно получить следующее интегральное представление:

Нетрудно убедиться, что при целых это выражение переходит в предыдущую формулу.

Функции Неймана

Функции Неймана — решения уравнения Бесселя, бесконечные в точке .

Эта функция связана с следующим соотношением:

где в случае целого берётся предел по , вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя .

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

Ниже приведён график для :

График функции Бесселя второго рода N
График функции Бесселя второго рода N

В ряде книг функции Неймана обозначаются .

Сферические функции Бесселя

Сферические функции Бесселя первого рода, j n ( x ) , для n = 0, 1, 2
Сферические функции Бесселя второго рода, y n ( x ) , для n = 0, 1, 2

При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных уравнение на радиальную часть имеет вид

Два линейно-независимых решения называются сферическими функциями Бесселя j n и y n , и связаны с обычными функциями Бесселя J n и Неймана Y n с помощью

y n также обозначается n n или η n ; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана .

Сферические функции Бесселя также могут быть записаны как ( формула Релея )

Несколько первых сферических функций Бесселя :

и Неймана :

Производящие функции

Производящие функции сферических функций Бесселя :

Дифференциальные соотношения

В следующих формулах f n может быть заменено на j n , y n , h (1)
n
, h (2)
n
, где h (1)
n
и h (2)
n
— сферические функции Ханкеля, для n = 0, ±1, ±2, ... :

Свойства

Ортогональность

Пусть — нули функции Бесселя . Тогда :

.

Асимптотика

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах и неотрицательных они выглядят так :

,

где постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), а гамма-функция Эйлера . Для больших аргументов ( ) формулы выглядят так:

Использование следующего члена асимптотического разложения позволяет значительно уточнить результат. Для функции Бесселя нулевого порядка он выглядит следующим образом:

Гипергеометрический ряд

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию :

Таким образом, при целых функция Бесселя однозначная аналитическая , а при нецелых — многозначная аналитическая .

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

Соотношения

Формула Якоби — Ангера и связанные с ней

Получается из выражения для производящей функции при , :

При , :

Рекуррентные соотношения

Для функций Бесселя существует ряд рекуррентных соотношений. Приведём здесь некоторые из них:

.

Теорема сложения

Для любого целого n и комплексных , выполняется

Интегральные выражения

Для любых и (в том числе комплексных) выполняется

Частным случаем последней формулы является выражение

См. также

Примечания

  1. Зубов В. И. . . — М. : МФТИ, 2007. 24 июня 2016 года.
  2. Синус в степени у экспоненты. Исправить?
  3. Abramowitz and Stegun, от 2 сентября 2006 на Wayback Machine .
  4. Abramowitz and Stegun, от 21 декабря 2009 на Wayback Machine .
  5. Abramowitz and Stegun, от 30 апреля 2009 на Wayback Machine .
  6. Abramowitz and Stegun, от 30 апреля 2009 на Wayback Machine .
  7. Abramowitz and Stegun, от 21 декабря 2009 на Wayback Machine .
  8. Abramowitz and Stegun, от 22 декабря 2019 на Wayback Machine .
  9. Arfken G. B., Hans J. W. . Mathematical Methods for Physicists. 6th ed. — San Diego: Harcourt, 2005. — ISBN 0-12-059876-0 .
  10. , с. 15.
  11. В. С. Гаврилов и др. от 26 ноября 2019 на Wayback Machine , стр. 7
  12. , с. 670.
  13. , с. 671.

Литература

  • Ватсон Г. . Теория бесселевых функций. — М. : ИЛ , 1949.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. . Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М. : Наука , 1974. — 296 с.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. . Методы теории функций комплексного переменного. — М. : Наука , 1973. — 736 с.
Источник —

Same as Функции Бесселя