Зако́н Архиме́да — закон гидростатики и аэростатики : на тело, погружённое в жидкость или газ , действует выталкивающая сила, численно равная весу объёма жидкости или газа, вытесненного телом. Закон открыт Архимедом в III веке до н. э. Выталкивающая сила также называется архимедовой силой или гидростатической подъёмной силой (её не следует путать с аэро- и гидродинамической подъёмной силой , возникающей при обтекании тела потоком газа или жидкости).

Так как сила Архимеда обусловлена силой тяжести, то в невесомости она не действует.

В соответствии с законом Архимеда для выталкивающей силы выполняется :

${\displaystyle F_{A}=\rho gV,}$

где:

• ${\displaystyle \rho }$ — плотность жидкости или газа, кг / м ³ ;
• ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения , м / с ² ;
• ${\displaystyle V}$ — объём части тела, погружённой в жидкость или газ, м ³ ;
• ${\displaystyle F_{A}}$ — сила Архимеда, Н .

Описание

Выталкивающая или подъёмная сила по направлению противоположна силе тяжести , прикладывается к центру тяжести объёма, вытесняемого телом из жидкости или газа.

Если тело плавает (см. плавание тел ) или равномерно движется вверх или вниз, то выталкивающая или подъёмная сила по модулю равна силе тяжести, действующей на вытесненный телом объём жидкости или газа.

Например, воздушный шарик объёмом ${\displaystyle V}$ , наполненный гелием , летит вверх из-за того, что плотность гелия ( ${\displaystyle \rho _{He}}$ ) меньше плотности воздуха ( ${\displaystyle \rho _{air}}$ ):

${\displaystyle F_{A}>F_{p};}$
${\displaystyle \rho _{air}gV>\rho _{He}gV.}$

Закон Архимеда можно объяснить при помощи разности гидростатических давлений на примере прямоугольного тела, погруженного в жидкость или газ. В силу симметрии прямоугольного тела, силы давления, действующие на боковые грани тела, уравновешиваются. Давление ( ${\displaystyle P_{A}}$ ) и сила давления ( ${\displaystyle F_{A}}$ ), действующие на верхнюю грань тела, равны:

${\displaystyle P_{A}=\rho gh_{A};}$

${\displaystyle F_{A}=\rho gh_{A}S,}$

где:

• ${\displaystyle P_{A}}$ — давление, оказываемое жидкостью или газом на верхнюю грань тела, Па ;
• ${\displaystyle F_{A}}$ — сила давления, действующая на верхнюю грань тела и направленная вниз, Н ;
• ${\displaystyle \rho }$ — плотность жидкости или газа, кг / м ³ ;
• ${\displaystyle h_{A}}$ — расстояние между поверхностью жидкости или газа и верхней гранью тела, м ;
• ${\displaystyle S}$ — площадь горизонтального поперечного сечения тела, м ² .

Давление ( ${\displaystyle P_{B}}$ ) и сила давления ( ${\displaystyle F_{B}}$ ), действующие на нижнюю грань тела, равны:

${\displaystyle P_{B}=\rho gh_{B};}$

${\displaystyle F_{B}=\rho gh_{B}S,}$

где:

• ${\displaystyle P_{B}}$ — давление, оказываемое жидкостью или газом на нижнюю грань тела, Па ;
• ${\displaystyle F_{B}}$ — сила давления, действующая на нижнюю грань тела и направленная вверх, Н ;
• ${\displaystyle h_{B}}$ — расстояние между поверхностью жидкости или газа и нижней гранью тела, м .

Сила давления жидкости или газа на тело определяется разностью сил ${\displaystyle F_{B}}$ и ${\displaystyle F_{A}}$ :

${\displaystyle F_{B}-F_{A}=\rho gh_{B}S-\rho gh_{A}S=\rho g\left(h_{B}-h_{A}\right)S=\rho ghS=\rho gV,}$

где:

• ${\displaystyle h=h_{B}-h_{A}}$ — расстояние между верхней и нижней гранями тела (в случае частичного погружения высота части тела, погружённой в жидкость или газ), м ;
• ${\displaystyle V}$ — объём тела, погружённого в жидкость или газ (в случае частичного погружения объём части тела, погружённой в жидкость или газ), м ³ .

Разница давлений:

${\displaystyle P_{B}-P_{A}=\rho gh_{B}-\rho gh_{A}=\rho gh.}$

В отсутствие гравитационного поля, то есть в состоянии невесомости , закон Архимеда не работает. Космонавты с этим явлением знакомы достаточно хорошо. В частности, в невесомости отсутствует явление (естественной) конвекции , поэтому, например, воздушное охлаждение и вентиляцию жилых отсеков космических аппаратов необходимо производить принудительно вентиляторами .

Обобщения

Некий аналог закона Архимеда справедлив также в любом поле сил, которое по-разному действуют на тело и на жидкость (газ), либо в неоднородном поле. Например, это относится к полю сил инерции (например, к полю центробежной силы ) — на этом основано центрифугирование . Пример для поля немеханической природы: диамагнетик в вакууме вытесняется из области магнитного поля большей интенсивности в область с меньшей.

Вывод закона Архимеда для тела произвольной формы

Вывод через эксперимент

Если заменить погружённое в жидкость тело той же жидкостью, мысленно размещённая в том же объёме порция воды будет находиться в равновесии и действовать на окружающую воду с силой, равной силе тяжести, действующей на порцию воды. Так как перемешивания частиц воды не происходит, можно утверждать, что окружающая вода действует на выделенный объём с той же силой, но направленной в противоположном направлении, то есть с силой, равной ${\displaystyle mg=\rho gV}$ .

Расчёт силы

Гидростатическое давление ${\displaystyle p}$ на глубине ${\displaystyle h}$ , оказываемое жидкостью с плотностью ${\displaystyle \rho }$ на тело, есть ${\displaystyle p=\rho gh}$ . Пусть плотность жидкости ( ${\displaystyle \rho }$ ) и напряжённость гравитационного поля ( ${\displaystyle g}$ ) — постоянные величины, а ${\displaystyle h}$ — параметр. Возьмём тело произвольной формы, имеющее ненулевой объём. Введём правую ортонормированную систему координат ${\displaystyle Oxyz}$ , причём выберем направление оси z совпадающим с направлением вектора ${\displaystyle {\vec {g}}}$ . Ноль по оси z установим на поверхности жидкости. Выделим на поверхности тела элементарную площадку ${\displaystyle dS}$ . На неё будет действовать сила давления жидкости, направленная внутрь тела, ${\displaystyle d{\vec {F}}_{A}=-pd{\vec {S}}}$ . Чтобы получить силу, которая будет действовать на тело, возьмём интеграл по поверхности:

${\displaystyle {\vec {F}}_{A}=-\int \limits _{S}{p\,d{\vec {S}}}=-\int \limits _{S}{\rho gh\,d{\vec {S}}}=-\rho g\int \limits _{S}{h\,d{\vec {S}}}=^{*}-\rho g\int \limits _{V}{\operatorname {grad} (h)\,dV}=^{**}-\rho g\int \limits _{V}{{\vec {e}}_{z}dV}=-\rho g{\vec {e}}_{z}\int \limits _{V}{dV}=(\rho gV)(-{\vec {e}}_{z}).}$

При переходе от интеграла по поверхности к интегралу по объёму пользуемся обобщённой теоремой Остроградского-Гаусса .

${\displaystyle {}^{*}h(x,y,z)=z;}$

${\displaystyle ^{**}\operatorname {grad} h=\nabla h={\vec {e}}_{z}.}$

Получаем, что модуль силы Архимеда равен ${\displaystyle \rho gV}$ , и направлена сила Архимеда в сторону, противоположную направлению вектора напряжённости гравитационного поля.

Вывод через закон сохранения энергии

Закон Архимеда можно также вывести из закона сохранения энергии. Работа силы, действующей со стороны погружённого тела на жидкость, приводит к изменению её потенциальной энергии:

${\displaystyle \ A=-F*(h_{1}-h_{2})=-\Delta E_{p}=-m_{\text{ж}}g\Delta h,}$

где ${\displaystyle m_{\text{ж}}}$ — масса вытесненной части жидкости, ${\displaystyle \Delta h}$ — перемещение её центра масс. Отсюда модуль вытесняющей силы:

${\displaystyle \ F=m_{\text{ж}}g.}$

По третьему закону Ньютона эта сила, равна по модулю и противоположна по направлению силе Архимеда, действующей со стороны жидкости на тело. Объём вытесненной жидкости равен объёму погруженной части тела, поэтому массу вытесненной жидкости можно записать как:

${\displaystyle \ m_{\text{ж}}=\rho _{\text{ж}}V_{\text{т}},}$ где ${\displaystyle V_{\text{т}}}$ — объем погружённой части тела.

Таким образом, для силы Архимеда имеем:

${\displaystyle \ F_{A}=\ F=m_{\text{ж}}g=\rho _{\text{ж}}gV_{\text{т}}.}$

Условие плавания тел

Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести ${\displaystyle F_{T}}$ и силы Архимеда ${\displaystyle F_{A}}$ , которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:

• ${\displaystyle F_{T}>F_{A}}$ — тело тонет;
• ${\displaystyle F_{T}=F_{A}}$ — тело плавает в жидкости или газе;
• ${\displaystyle F_{T}<F_{A}}$ — тело всплывает до тех пор, пока не начнёт плавать.

Другая формулировка (где ${\displaystyle \rho _{t}}$ — плотность тела, ${\displaystyle \rho _{s}}$ — плотность среды, в которую тело погружено):

• ${\displaystyle \rho _{t}>\rho _{s}}$ — тело тонет;
• ${\displaystyle \rho _{t}=\rho _{s}}$ — тело плавает в жидкости или газе;
• ${\displaystyle \rho _{t}<\rho _{s}}$ — тело всплывает до тех пор, пока не начнёт плавать.

Примечания

Ссылки

• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
• // Энциклопедия « Кругосвет ».