Кологари́фм , дополни́тельный логари́фм — редко используемая элементарная функция , логарифм обратного числа:

${\displaystyle \operatorname {colog} _{b}x\equiv \log _{b}{\frac {1}{x}}.}$

Обозначение colog _b x читается как «кологарифм x по основанию b ». Для некоторых оснований используются специальные обозначения:

• натуральный кологарифм coln x = colog _e x = ln(1/ x ) ;
• десятичный кологарифм colg x = colog ₁₀ x = lg(1/ x ) ;
• бинарный кологарифм colb x = colog ₂ x = lb(1/ x ) .

Тождества

${\displaystyle \operatorname {colog} _{b}x\equiv -\log _{b}x\equiv \log _{1/b}x.}$

Применение

Таблицы кологарифмов использовались в эпоху ручных вычислений, позволяя упростить вычисления логарифмов дробей путём замены вычитания сложением. Кологарифм очень удобно ранее посчитать на логарифмической линейке. Например, для вычисления дроби xy /( zw ) при ручном счёте надо просуммировать логарифмы величин x и у , вычесть из суммы логарифмы величин z и w , а затем потенцировать результат (т.е. возвести основание логарифмов в степень, равную результату, найдя в таблице число, логарифм которого равен результату). При использовании кологарифмов можно вместо сложения и двух вычитаний выполнить три сложения log x + log y + colog z + colog w , что удобнее при вычислениях в столбик. При этом для записи отрицательных логарифмов и кологарифмов используется «искусственная форма», содержащая отрицательную характеристику (целую часть) и положительную мантиссу (дробную часть) (см. Десятичный логарифм ): ${\displaystyle -0{,}30103={\bar {1}}{,}69897}$ .

В химии логарифмические значения активности , концентрации и т. п., такие как водородный показатель pH , показатель константы диссоциации кислоты (показатель константы кислотности) p K _a и показатель константы диссоциации основания (показатель константы основности) p K _b , обозначаемые с использованием буквы p (от лат. potentia ), являются десятичными кологарифмами соответствующих величин:

${\displaystyle \mathrm {p} K_{a}=-\lg K_{a}=\operatorname {colg} K_{a},}$

${\displaystyle \mathrm {p} K_{b}=-\lg K_{b}=\operatorname {colg} K_{b}.}$

Литература

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Hall A. G., Frink F. G. Chapter IV. Logarithms [28] Cologarithms // (неопр.) . — New York, USA: Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. — Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA, 1909. — Т. Part I: Plane Trigonometry. — С. 36.
• Holman S. W. Cologarithms = Logarithms of Reciprocals // (англ.) . — New York, London: Macmillan & Co , 1896. — P. xxxi—xxxii.