Стереографи́ческая проекция — отображение определённого типа из сферы с одной выколотой точкой на плоскость.

Определение

Точка ${\displaystyle N}$ (северный полюс сферы) является точкой на максимальном расстоянии от плоскости ${\displaystyle \Pi }$ . Через каждую точку ${\displaystyle x\neq N}$ сферы проходит единственная прямая ${\displaystyle D}$ , соединяющая ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle x}$ . Прямая ${\displaystyle D}$ пересекает плоскость в единственной точке ${\displaystyle X}$ , которая, таким образом, является образом точки ${\displaystyle x}$ при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой ${\displaystyle N}$ на плоскость ${\displaystyle \Pi }$ .

Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки ${\displaystyle N}$ . Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка , обозначаемая символом ${\displaystyle \infty }$ . Плоскость, дополненная элементом ${\displaystyle \infty }$ , называется расширенной плоскостью . Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза ${\displaystyle x\to N}$ его образ ${\displaystyle X\to \infty }$ .

Свойства

• Стереографическая проекция является конформным отображением — она сохраняет углы между кривыми и форму бесконечно малых фигур. Стереографическая проекция переводит окружности на плоскости в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции ${\displaystyle N}$ .

• Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и параллелей на сфере в сопряжённые эллиптический и гиперболический пучки окружностей на плоскости.

• Стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм комплексной проективной прямой ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$ на двумерную сферу: для этого нужно рассмотреть двумерную (над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ) вещественную плоскость с координатами ${\displaystyle x,y}$ как одномерную (над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ) прямую комплексного переменного ${\displaystyle z=x+iy}$ .

• Движения сферы стереографической проекции порождают преобразования Мёбиуса на комплексной плоскости , подобно тому как Гномоническая проекция порождает проективные преобразования на плоскости.

Приложения

В фотографии

Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями , стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции.

В кристаллографии

Стереографическая проекция применяется для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов .

История

Стереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии .

Вариации и обобщения

Стереографическая проекция приложима к n -сфере S ⁿ в ( n + 1)-мерном евклидовом пространстве E ^{n + 1} . Если Q — точка на S ⁿ и E — гиперплоскость в E ^{n + 1} , то стереографической проекцией точки P ∈ S ⁿ − { Q } является точка P ^′ пересечения линии ${\displaystyle \scriptstyle {\overline {QP}}}$ с E .

Обобщенная стереографическая проекция используется, например, для графического представления 3-сферы и расслоения Хопфа .

См. также

• Проекция (геометрия)
• Комплексная плоскость
• Сфера Римана
• Преобразование Мёбиуса

Литература

• Розенфельд Б. А., Сергеева Н. Д. . Серия « Популярные лекции по математике », вып. 53. М.: Наука, 1973.

Примечания

Ссылки