Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах , уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

${\displaystyle {\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}}\qquad (1),}$

где функции ${\displaystyle P(t,x)}$ и ${\displaystyle Q(t,x)}$ определены и непрерывны в некоторой области ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} _{t,x}^{2}}$ .

Уравнения в полных дифференциалах

Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть ${\displaystyle {\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{matrix}}}$ , то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения ). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции ${\displaystyle U(t,x)}$ , т.е. определяются уравнением ${\displaystyle U(t,x)=C}$ при всевозможных значениях произвольной постоянной ${\displaystyle C}$ .

Если в области ${\displaystyle \Omega }$ выполнено условие ${\displaystyle Q(t,x)\neq 0}$ , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения ${\displaystyle U(t,x)=C}$ как неявная функция ${\displaystyle x=\varphi (t,C)}$ . Через каждую точку области ${\displaystyle \Omega }$ проходит единственная интегральная кривая ${\displaystyle x=\varphi (t,C)}$ уравнения (1).

Если рассматриваемая область ${\displaystyle \Omega }$ односвязна, а производные ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial t}}}$ также непрерывны в ${\displaystyle \Omega }$ , то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial x}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}\qquad \forall (t,x)\in \Omega }$

(признак уравнения в полных дифференциалах).

Интегрирующий множитель

Непрерывная функция ${\displaystyle \mu (t,x)\neq 0}$ в ${\displaystyle \Omega }$ называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение ${\displaystyle \mu (Pdt+Qdx)=0}$ является уравнением в полных дифференциалах, то есть ${\displaystyle \mu (Pdt+Qdx)=dU}$ для некоторой функции ${\displaystyle U(t,x)}$ . Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.

Функция ${\displaystyle \mu (t,x)}$ является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

${\displaystyle {\frac {\partial {\left(\mu P\right)}}{\partial x}}={\frac {\partial {\left(\mu Q\right)}}{\partial t}}\qquad \left(2\right)}$

(область ${\displaystyle \Omega }$ по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).

Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде ${\displaystyle \mu =\mu (t)}$ или ${\displaystyle \mu =\mu (x)}$ , но это не всегда возможно.

Алгоритм решения

(1) ${\displaystyle {\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}}}$

(2) ${\displaystyle {\begin{matrix}P'_{x}(t,x)=Q'_{t}(t,x)\end{matrix}}}$

(3) ${\displaystyle {\begin{matrix}U'_{t}=P(t,x),U'_{x}=Q(t,x)\end{matrix}}}$

Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:

(*) ${\displaystyle {\begin{matrix}U(t,x)=\int P(t,x)dt+\varphi (x)\end{matrix}}}$

Подставим в (3).2:

${\displaystyle {\begin{matrix}U'_{x}(t,x)=(\int P(t,x)dt)'_{x}+\varphi '_{x}(x)\end{matrix}}}$

В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: ${\displaystyle {\begin{matrix}\varphi '_{x}(x)=g(x)\end{matrix}}}$ . Проинтегрируем по x и подставим в (*).

Уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении (1) ${\displaystyle P(t,x)=T_{1}(t)X_{1}(x),\ Q(t,x)=T_{2}(t)X_{2}(x)}$ , то это уравнение с разделяющимися переменными . Его можно записать в симметричном виде:

${\displaystyle T_{1}(t)X_{1}(x)dt+T_{2}(t)X_{2}(x)dx=0\qquad \left(3\right)}$

• Решения уравнения с разделяющимися переменными
  • Решения уравнения ${\displaystyle X_{1}(x)T_{2}(t)=0}$ являются решениями (3).
  • Если область ${\displaystyle \Omega }$ выбрана так, что ${\displaystyle X_{1}(x)T_{2}(t)\neq 0\quad \forall (t,x)\in \Omega }$ , то разделив на ${\displaystyle X_{1}(x)T_{2}(t)}$ получим уравнение с разделёнными переменными

${\displaystyle {\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt+{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx=0.}$

Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку ${\displaystyle (t_{0},x_{0})\in \Omega }$ , имеет вид:

${\displaystyle \int \limits _{t_{0}}^{t}{{\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt}+\int \limits _{x_{0}}^{x}{{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx}=0.}$

Пример дифференциального уравнения

${\displaystyle y'={\frac {y}{x}}+cos^{2}{\frac {y}{x}}}$