Характеристическая функция — функция состояния термодинамической системы , рассматриваемая как математическая функция определённого набора термодинамических параметров — естественных независимых переменных — и характеризующаяся тем, что посредством этой функции (если она не равна тождественно нулю), её частных производных по естественным переменным и самих естественных переменных могут быть выражены в явном виде все термодинамические свойства системы . После замены хотя бы одной из естественных переменных на другую независимую переменную функция перестаёт быть характеристической . При фиксированных естественных переменных характер изменения характеристической функции (убывание или возрастание) указывает на направление протекания самопроизвольного процесса . Характеристическая функция аддитивна : характеристическая функция всей системы равна сумме характеристических функций её частей . Функция состояния, представляющая собой характеристическую функцию для одних термодинамических систем, может не являться характеристической для других систем. Так, потенциал Гиббса и функция Планка для фотонного газа не являются характеристическими функциями, поскольку тождественно равны нулю .

Характеристическими функциями являются

• внутренняя энергия системы ${\displaystyle U,}$ рассматриваемая как функция энтропии ${\displaystyle S}$ и обобщённых термодинамических координат ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ — объёма системы, площади поверхности раздела фаз , длины упругого стержня (пружины, резиновой нити), поляризации диэлектрика , намагниченности магнетика , масс компонентов системы и др. :

${\displaystyle U=U(S,x_{1},x_{2},...);}$

• энтропия системы ${\displaystyle S,}$ рассматриваемая как функция внутренней энергии ${\displaystyle U}$ и обобщённых координат ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ :

${\displaystyle S=S(U,x_{1},x_{2},...);}$

• любая обобщённая координата (пусть, для определённости, это будет ${\displaystyle x_{1}}$ ) рассматриваемая как функция внутренней энергии ${\displaystyle U,}$ энтропии ${\displaystyle S}$ и остальных обобщённых координат ${\displaystyle x_{2},...}$ :

${\displaystyle x_{1}=x_{1}(U,S,x_{2},...).}$

Последнее из приведённых соотношений практического значения не имеет: такую обобщённую координату, как объём, не используют как характеристическую функцию от энергии и энтропии, а вот выбор между первыми двумя функциями производится в соответствии с физическим смыслом обсуждаемой проблемы или исходя из соображений удобства .

Историческая справка

первым (1869) стал использовать внутреннюю энергию и энтропию в качестве независимых переменных, ввёл в термодинамику представление о характеристических функциях (как и сам термин) и предложил к использованию две такие функции. Он же впервые сформулировал соотношения, которые в современной литературе называют уравнениями Гиббса — Гельмгольца . Заслуга введения термодинамических потенциалов принадлежит Дж. У. Гиббсу (1875–1876); термин «термодинамический потенциал» предложил Пьер Дюгем .

Внутренняя энергия как характеристическая функция

Для простых систем имеем :

${\displaystyle U=U(S,V),}$

где ${\displaystyle V}$ — объём системы, или в дифференциальной форме:

${\displaystyle dU=TdS-PdV,}$

где ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура , ${\displaystyle P}$ — давление . Из этого соотношения получаем выражения для температуры и давления:

${\displaystyle T=\left({\frac {\partial U(S,V)}{\partial S}}\right)_{V},~P=-\left({\frac {\partial U(S,V)}{\partial V}}\right)_{S},}$

практическое использование которых предполагает знание канонического уравнения состояния ${\displaystyle U=U(S,V).}$ Выражение для давления есть не что иное, как термическое уравнение состояния рассматриваемой системы .

Для второй производной имеем:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}U/\partial S^{2}\right)_{V}=\left(\partial T/\partial S\right)_{V}.}$

Поскольку теплоёмкость системы при постоянном объёме равна

${\displaystyle C_{V}\equiv \left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {T}{\left(\partial T/\partial S\right)_{V}}},}$

окончательно получаем :

${\displaystyle C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {T}{\left(\partial ^{2}U/\partial S^{2}\right)_{V}}}={\frac {\left(\partial U/\partial S\right)_{V}}{\left(\partial ^{2}U/\partial S^{2}\right)_{V}}}.}$

Для изоэнтропического модуля упругости ${\displaystyle K_{S}}$ посредством аналогичных выкладок получаем :

${\displaystyle K_{S}=V\left(\partial ^{2}U/\partial V^{2}\right)_{S}.}$

Итак, для данной системы первые производные ${\displaystyle U(S,V)}$ по естественным переменным определяют термические свойства системы, а вторые — калорические. Таким образом, внутренняя энергия ${\displaystyle U}$ является характеристической функцией для естественных переменных ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle V}$ .

Условия равновесия и стабильности термодинамических систем, выраженные через внутреннюю энергию

В состоянии термодинамического равновесия системы её внутренняя энергия имеет минимальное значение при постоянстве своих естественных переменных — энтропии ${\displaystyle S,}$ объёма системы ${\displaystyle V}$ и масс составляющих систему веществ ${\displaystyle \left\{m_{i}\right\}}$ . Для простых изоэнтропических систем постоянного объёма необходимое и достаточное условие равновесия, выраженные через внутреннюю энергию, имеет вид :

${\displaystyle (\Delta U)_{S},~_{V},~_{\left\{m_{i}\right\}}\geqslant 0.}$

(Условие стабильного равновесия)

Символ ${\displaystyle \Delta }$ здесь означает вариацию , т. е. виртуальное изменение внутренней энергии . Знак равенства в этом выражении относится к безразличному равновесию .

Разлагая ${\displaystyle \Delta U}$ в ряд Тейлора и ограничиваясь бесконечно малыми вариациями первого и второго порядка, для простых систем постоянного состава из необходимого условия экстремума получаем:

${\displaystyle (\delta U)_{S},~_{V}=0.}$

(Условие равновесия)

В отличие от дифференциала ${\displaystyle dU}$ , соответствующего бесконечно малому изменению внутренней энергии в реальном процессе, вариация ${\displaystyle \delta U}$ относится к бесконечно малому виртуальному изменению.

Из достаточного условия минимума получаем:

${\displaystyle (\delta ^{2}U)_{S},~_{V}>0.}$

(Условие стабильности)

Существуют ситуации, когда неравенства, выражающие и выполняются, а более общее — нет. Такие случаи соответствуют метастабильному равновесию , известными примерами которого служат перегретая или переохлажденная жидкость, пересыщенный раствор.

Наоборот, для систем в критическом состоянии не выполняется, тогда как более общее сохраняет истинность. В критической точке обращаются в нуль не только первая вариация внутренней энергии, но также вторая и третья вариации, и только четвёртая вариация положительна .

Преобразуем :

${\displaystyle (\delta U)_{S},~_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V}\delta S+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S}\delta V=T\delta S-P\delta V=0,}$

Если на систему не наложены ограничения в виде наличия в ней адиабатических и/или жёстких механических перегородок , то в силу независимости переменных ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle V}$ (из чего вытекает независимость вариаций этих переменных) данное соотношение выполняется тогда и только тогда, когда

${\displaystyle T=const,}$

(Условие термического равновесия)

${\displaystyle P=const,}$

(Условие механического равновесия)

т. е. необходимым условием термодинамического равновесия в простой системе является соблюдение в ней частных равновесий — термического и механического: равенства температур и равенства давлений для всех частей системы .

Преобразуем :

${\displaystyle (\delta ^{2}U)_{S},~_{V}=\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial S^{2}}}\right)_{V}\delta S^{2}+2\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial S\partial V}}\right)\delta S\delta V+\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial V^{2}}}\right)_{S}\delta V^{2}>0.}$

Эта действительная симметрическая квадратичная форма будет положительно определённой тогда и только тогда, когда положительны составленный из коэффициентов формы детерминант устойчивости ${\displaystyle D}$ и его главные миноры, т. е. когда одновременно выполняются условия:

${\displaystyle D\equiv {\begin{vmatrix}\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial S^{2}}}\right)_{V}&{\frac {\partial ^{2}U}{\partial S\partial V}}\\{\frac {\partial ^{2}U}{\partial S\partial V}}&\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial V^{2}}}\right)_{S}\end{vmatrix}}>0,}$

(Детерминант устойчивости)

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial S^{2}}}\right)_{V}>0,}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial V^{2}}}\right)_{S}>0.}$

Преобразуем условие термической стабильности, выразив его через температуру и теплоёмкость:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial S^{2}}}\right)_{V}=\left({\frac {\partial T}{\partial S}}\right)_{V}={\frac {T}{C_{V}}}>0.}$

(Условие термической стабильности)

Условие механической стабильности выражается через объём и модуль упругости:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial V^{2}}}\right)_{S}={\frac {K_{S}}{V}}>0.}$

(Условие механической стабильности)

Можно показать , что из условия ${\displaystyle D>0}$ следуют неравенства ${\displaystyle \left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{S}<0}$ и ${\displaystyle \left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}<0,}$ т. е. в устойчивых состояниях сжатие приводит к росту давления, система «пружинит», а флуктуации плотности рассасываются. В противном случае, при ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial V}}>0,}$ эти флуктуации бы лавинообразно нарастали, и такие состояния являлись бы абсолютно неустойчивыми.

Энтропия как характеристическая функция

Энтропия, выраженная в переменных ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ также может выступать как характеристическая функция, так как выражение для её дифференциала в равновесных процессах имеет вид:

${\displaystyle dS={\frac {1}{T}}dU+{\frac {p}{T}}dV.}$

Откуда следуют следующие выражения для давления и температуры:

${\displaystyle T={\frac {1}{\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V}}},\quad p={\frac {\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{U}}{\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V}}}.}$

Для теплоёмкости при постоянном объёме получим:

${\displaystyle C_{V}\equiv \left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {1}{\left({\frac {\partial T}{\partial U}}\right)_{V}}}=\left[\left({\frac {\partial }{\partial U}}{\frac {1}{\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V}}}\right)_{V}\right]^{-1}=-{\frac {\left[\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V}\right]^{2}}{\left({\frac {\partial ^{2}S}{\partial U^{2}}}\right)_{V}}}.}$

Термодинамические потенциалы и функции Массье — Планка

На практике в качестве независимой термической переменной вместо внутренней энергии ${\displaystyle U}$ или энтропии ${\displaystyle S}$ гораздо удобнее использовать абсолютную температуру ${\displaystyle T}$ , однако функции ${\displaystyle U=U(T,x_{1},x_{2},...)}$ и ${\displaystyle S=S(T,x_{1},x_{2},...)}$ характеристическими не являются. Можно, однако, переход от одного набора естественных термодинамических переменных к другому, более удобному в конкретной ситуации, выполнить одновременно с трансформацией одной характеристической функции в другую. Замену независимых переменных с одновременной заменой одной характеристические функции на другую, тоже характеристическую, выполняют посредством преобразования Лежандра : если результат такого преобразования не равен тождественно нулю, то независимая и зависимая переменные в сопряжённой паре «обобщённая сила — обобщённая координата» меняются ролями. Понятно, что тождественно равный нулю результат применения преобразования Лежандра к характеристической функции уже не будет характеристической функцией, ибо просто-напросто функцией уже не является.

Так, выполняя для внутренней энергии ${\displaystyle U}$ преобразование

${\displaystyle U}$ —> ${\displaystyle U-TS,}$

получаем характеристическую функцию, называемую термодинамическим потенциалом Гельмгольца , для которой естественными переменными будут ${\displaystyle T,x_{1},x_{2},...}$ :

${\displaystyle F(T,x_{1},x_{2},...)\equiv U-TS.}$

( Дефиниция термодинамического потенциала Гельмгольца)

Выполняя для энтропии ${\displaystyle S}$ преобразование

${\displaystyle S}$ —> ${\displaystyle S-U/T,}$

получаем характеристическую функцию, называемую функцией Массье, для которой естественными переменными будут ${\displaystyle {\frac {1}{T}},x_{1},x_{2},...}$ :

${\displaystyle \Psi ({\frac {1}{T}},x_{1},x_{2},...)\equiv S-U/T.}$

( Дефиниция функции Массье)

К потенциалу Гельмгольца и функции Массье можно вновь применить преобразование Лежандра. Из внутренней энергии, осуществляя последовательно преобразование Лежандра по различным переменным, получают группу характеристических функций, называемых термодинамическими потенциалами .

Термодинамические потенциалы для открытой однородной термодеформационной системы

Название	Определение	Функция	Полный дифференциал
Внутренняя энергия		${\displaystyle U=U(S,V,\{m_{i}\})}$	${\displaystyle dU=TdS-PdV+\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}dm_{i}}$
Энтальпия (теплосодержание)	${\displaystyle H\equiv U+PV}$	${\displaystyle H=H(S,P,\{m_{i}\})}$	${\displaystyle dH=TdS+VdP+\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}dm_{i}}$
Потенциал Гельмгольца ( Свободная энергия Гельмгольца , изохорно-изотермический потенциал)	${\displaystyle F\equiv U-TS}$	${\displaystyle F=F(T,V,\{m_{i}\})}$	${\displaystyle dF=-SdT-PdV+\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}dm_{i}}$
Потенциал Гиббса ( Свободная энергия Гиббса , свободная энтальпия, изобарно-изотермический потенциал)	${\displaystyle G\equiv U+PV-TS=H-TS=}$ ${\displaystyle F+PV=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}m_{i}}$	${\displaystyle G=G(T,P,\{m_{i}\})}$	${\displaystyle dG=-SdT+VdP+\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}dm_{i}}$
Потенциал Ландау ( Большой термодинамический потенциал )	${\displaystyle \Omega \equiv U-TS-\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}m_{i}=F-\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}m_{i}=}$ ${\displaystyle =U-TS-G=F-G=-PV}$	${\displaystyle \Omega =\Omega (T,V,{\mu _{i}})}$	${\displaystyle d\Omega =-SdT-PdV-\sum _{i=1}^{k}m_{i}d\mu _{i}}$
Связанная энергия	${\displaystyle \Lambda \equiv U+PV-\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}m_{i}=H-\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}m_{i}=}$ ${\displaystyle =U+PV-G=H-G=TS}$	${\displaystyle \Lambda =\Lambda (S,P,{\mu _{i}})}$	${\displaystyle d\Lambda =TdS+VdP-\sum _{i=1}^{k}m_{i}d\mu _{i}}$
—	${\displaystyle \chi \equiv U-\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}m_{i}=U-G=}$ ${\displaystyle =\Omega +\Lambda =TS-PV}$	${\displaystyle \chi =\chi (S,V,{\mu _{i}})}$	${\displaystyle d\chi =TdS-VdP-\sum _{i=1}^{k}m_{i}d\mu _{i}}$
Нулевой потенциал Гиббса	${\displaystyle \Upsilon \equiv U+PV-TS-\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}m_{i}=}$ ${\displaystyle =G-\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}m_{i}=\Omega +PV=0}$	${\displaystyle \Upsilon =\Upsilon (T,P,{\mu _{i}})}$	${\displaystyle d\Upsilon =-SdT+VdP-\sum _{i=1}^{k}m_{i}d\mu _{i}=0}$ ( уравнение Гиббса — Дюгема )

В таблице ${\displaystyle m_{i}}$ — масса i-го компонента , ${\displaystyle \mu _{i}}$ — химический потенциал этого компонента, ${\displaystyle k}$ — число компонентов в системе.

Последовательное применение преобразования Лежандра к энтропии даёт группу характеристических функций, называемых функциями Массье — Планка. Их использование в статистической физике делает формулы этой дисциплины более компактными и наглядными .

Функции Массье — Планка для открытой однородной термодеформационной системы

Название	Определение	Функция	Полный дифференциал
Энтропия		${\displaystyle S=S(U,V,\{m_{i}\})}$	${\displaystyle dS={\frac {1}{T}}dU+{\frac {P}{T}}dV-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\mu _{i}}{T}}dm_{i}}$
Функция Массье (Massieu potential; Helmholtz free entropy; free entropy)	${\displaystyle \Psi \equiv S-{\frac {1}{T}}U=-{\frac {F}{T}}}$	${\displaystyle \Psi =\Psi \left({\frac {1}{T}},V,\{m_{i}\}\right)}$	${\displaystyle d\Psi =-Ud{\frac {1}{T}}+{\frac {P}{T}}dV-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\mu _{i}}{T}}dm_{i}}$
Функция Планка (Planck potential; Gibbs free entropy)	${\displaystyle \Phi \equiv S-{\frac {1}{T}}U-{\frac {P}{T}}V=\Psi -{\frac {P}{T}}V=-{\frac {G}{T}}}$	${\displaystyle \Phi =\Phi \left({\frac {1}{T}},{\frac {P}{T}},\{m_{i}\}\right)}$	${\displaystyle d\Phi =-Ud{\frac {1}{T}}-Vd{\frac {P}{T}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\mu _{i}}{T}}dm_{i}}$
Функция Крамерса	${\displaystyle \Xi \equiv S-{\frac {1}{T}}U+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\mu _{i}}{T}}m_{i}=\Psi +\sum _{i=1}^{k}{\frac {\mu _{i}}{T}}m_{i}=-{\frac {\Omega }{T}}}$	${\displaystyle \Xi =\Xi \left({\frac {1}{T}},V,\left\{{\frac {\mu _{i}}{T}}\right\}\right)}$	${\displaystyle d\Xi =-Ud{\frac {1}{T}}+{\frac {P}{T}}dV+\sum _{i=1}^{k}m_{i}d{\frac {\mu _{i}}{T}}}$

В практике термодинамических расчётов (за исключением некоторых задач неравновесной термодинамики ) для уменьшения громоздкости вычислений предпочитают использовать термодинамические потенциалы, а не функции Массье — Планка .

Термодинамические потенциалы имеют размерность энергии , а функции Массье — Планка — размерность теплоёмкости .

Подбирая характеристическую функцию, наиболее соответствующую рассматриваемой проблеме, исходят из соображений целесообразности, прежде всего из набора независимых переменных, лучше всего подходящего для решения конкретной задачи, и личных предпочтений .

См. также

• Термодинамический потенциал

Примечания

Литература

• Duhem P. . — Paris: A. Hermann, 1886. — XI + 247 p.
• Massieu F. Sur les fonctions caractéristiques des divers fluides (фр.) // Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 1869, vol. 69, pp. 858–862.
• Massieu F. Addition au précédent mémoire sur les fonctions caractéristiques (фр.) // Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 1869, vol. 69, pp. 1057–1061.
• Massieu F. Mémoire sur les fonctions caractéristiques des divers fluides et sur la théorie des vapeurs (фр.) // Memoires présentés par divers savants étrangers à l’Académie des Sciences de l’Institut National de France, 1876, vol. 22, pp. 1–92.
• Münster A. Statistische Thermodynamik. — Berlin — Göttingen — Heidelberg: Springer-Verlag, 1956. — XII + 852 p.
• Базаров И. П. Термодинамика. — М. : Физматгиз , 1961. — 292 с.
• Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб. — М. — Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3 .
• Барилович B. A. , Смирнов Ю. А. Основы технической термодинамики и теории тепло- и массообмена. — М. : ИНФРА-М, 2014. — 432 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — ISBN 978-5-16-005771-2 .
• Белоконь Н. И. Термодинамика. — М. : Госэнергоиздат, 1954. — 416 с.
• Биккин Х. М., Ляпилин И. И. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика / Науч. ред. В. В. Меньшенин. — Екатеринбург: УрО РАН, 2009. — 500 с. — (Физика конденсированных сред. Т. 1). — ISBN 978-5-7691-2034-3 .
• Герасимов Я. И., Древинг В. П., Еремин Е. Н. и др. Курс физической химии / Под общ. ред. Я. И. Герасимова. — 2-е изд. — М. : Химия, 1970. — Т. 1. — 592 с.
• Гиббс Дж. В. Термодинамика. Статистическая механика / Отв. ред. Д. Н. Зубарев. — М. : Наука, 1982. — 584 с. — (Классики науки).
• Гиббс Дж. В. Термодинамические работы / Пер. с англ. под ред. проф. В. К. Семенченко. — М. — Л.: Гостехтеориздат, 1950. — 492 с. — (Классики естествознания).
• Глазов В. М. Основы физической химии. — М. : Высшая школа, 1981. — 456 с.
• Зубарев Д. Н., Морозов В. Г., Рёпке Г. Статистическая механика неравновесных процессов / Пер. с англ. под ред. В. Г. Морозова. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 432 с. — ISBN 5-9221-0211-7 .
• Кричевский И. Р. Понятия и основы термодинамики. — 2-е изд., пересмотр. и доп. — М. : Химия, 1970. — 440 с.
• Кубо Р. Термодинамика. — М. : Мир, 1970. — 304 с.
• Мюнстер А. Химическая термодинамика. — М. : Мир, 1971. — 296 с.
• Николаев Г. П., Лойко А. Э. Техническая термодинамика. — Екатеринбург: УрФУ, 2013. — 227 с.
• Патров Б. В., Сладков И. Б. Физическая химия. Ч. 1. — СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2009. — 127 с.
• Полторак О. М. Лекции по химической термодинамике. — М. : Высшая школа, 1971. — 256 с.
• Полторак О. М. Термодинамика в физической химии. — М. : Высшая школа, 1991. — 320 с. — ISBN 5-06-002041-X .
• Семенченко В. К. Джосиа Виллард Гиббс (рус.) // Гиббс Дж. В. Термодинамические работы. — М.: Гостехиздат, 1950, с. 12—23.
• Серафимов Л. А., Фролкова А. К., Хахин Л. А. Правило фаз. — М. : МИТХТ, 2008. — 48 с.
• Сычев В. В. Дифференциальные уравнения термодинамики. — 2-е изд., перераб. — М. : Высшая школа, 1991. — 224 с. — ISBN 5-06-002071-1 .
• Сычёв В. В. Дифференциальные уравнения термодинамики. — 3-е изд. — М. : Изд-во МЭИ, 2010. — 256 с. — ISBN 978-5-383-00584-2 .
• Сычев В. В. Сложные термодинамические системы. — 4-е изд., перераб. и доп.. — М. : Энергоатомиздат, 1986. — 208 с.
• Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп.. — М. : Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0 . .
• Термодинамика. Основные понятия. Терминология. Буквенные обозначения величин. Сборник определений / Комитет научно-технической терминологии АН СССР. — Вып. 103. — М. : Наука, 1984.
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Большая Российская энциклопедия , 1998. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — 760 с. — ISBN 5-85270-101-7 .
• Хачкурузов Г. А. Основы общей и химической термодинамики. — М. : Высшая школа, 1979. — 268 с.