Interested Article - Конденсат Бозе — Эйнштейна

Конденса́т Бо́зе — Эйнште́йна ( бо́зе-эйнште́йновский конденса́т , бо́зе-конденса́т ) — агрегатное состояние вещества , основу которого составляют бозоны , охлаждённые до температур , близких к абсолютному нулю (меньше миллионной доли кельвина). В таком сильно охлаждённом состоянии достаточно большое число атомов оказывается в своих минимально возможных квантовых состояниях, и квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне .

Теоретически предсказан как следствие из законов квантовой механики Альбертом Эйнштейном на основе работ Шатьендраната Бозе в 1925 году . 70 лет спустя, в 1995 году , первый бозе-конденсат был получен в Объединённом институте лабораторной астрофизики (JILA) (относящемся к Университету штата Колорадо в Боулдере и Национальному институту стандартов ) Эриком Корнеллом и Карлом Виманом . Учёные использовали газ из атомов рубидия , охлаждённый до 170 нанокельвин (нК) (1,7⋅10 ⁻⁷ кельвин ). За эту работу им, совместно с Вольфгангом Кеттерле из Массачусетского технологического института , была присуждена Нобелевская премия по физике 2001 года .

Теория

Замедление атомов с использованием охлаждающей аппаратуры позволяет получить сингулярное квантовое состояние, известное как конденсат Бозе, или Бозе — Эйнштейна. Результатом усилий Бозе и Эйнштейна стала концепция бозе-газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна , которая описывает статистическое распределение тождественных частиц с целым спином, называемых бозонами. Бозоны, которыми являются, например, и отдельные элементарные частицы — фотоны, и целые атомы, могут находиться друг с другом в одинаковых квантовых состояниях. Эйнштейн предположил, что охлаждение атомов — бозонов до очень низких температур заставит их перейти (или, по-другому, сконденсироваться) в наинизшее возможное квантовое состояние. Результатом такой конденсации станет возникновение новой фазы вещества.

Этот переход возникает ниже критической температуры, которая для однородного трёхмерного газа, состоящего из невзаимодействующих частиц без каких-либо внутренних степеней свободы, определяется формулой

T_{c}=\left({\frac {n}{\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{B}}},

где $T_{c}$ — критическая температура, $n$ — концентрация частиц, $m$ — масса, $h$ — постоянная Планка , $k_{B}$ — постоянная Больцмана , $\zeta$ — дзета-функция Римана , $\zeta (3/2)=2{,}6124\ldots$ .

Вывод критической температуры

Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, количество частиц в заданном состоянии $i$ равняется

n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{B}T}-1}},

где $\varepsilon _{i}>\mu$ , $n_{i}$ — количество частиц в состоянии $i$ , $g_{i}$ — вырождение уровня $i$ , $\varepsilon _{i}$ — энергия состояния $i$ , $\mu$ — химический потенциал системы.

Найдём температуру, при которой химический потенциал будет равен нулю. Рассмотрим случай свободных (невзаимодействующих) частиц с параболическим законом дисперсии $\varepsilon _{i}={\frac {p^{2}}{2m}}$ . Проинтегрировав по фазовому пространству получим

N=\sum _{i}{\frac {1}{e^{\varepsilon _{i}/k_{B}T}-1}}={\frac {V}{h^{3}}}\int d^{3}p{1 \over e^{p^{2} \over 2mk_{B}T}-1}={\frac {V}{h^{3}}}4\pi {\sqrt {2}}(mk_{B}T)^{3/2}\int \limits _{0}^{\infty }dx{\frac {\sqrt {x}}{e^{x}-1}}={\frac {V}{h^{3}}}(2\pi mk_{B}T)^{3/2}\zeta (3/2)

.

Откуда уже получается искомое

T_{c}=\left({\frac {n}{\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{B}}}

.

Модель Эйнштейна

Рассмотрим набор из $N$ невзаимодействующих частиц, каждая из которых может находиться в двух состояниях , $|0\rangle$ и $|1\rangle .$ Если энергии обоих состояний одинаковы, то все возможные конфигурации равновероятны.

Для различимых частиц имеется $2^{N}$ различных конфигураций, поскольку каждая частица независимо и с равной вероятностью попадает в состояния $|0\rangle$ или $|1\rangle .$ При этом практически во всех состояниях количество частиц в состоянии $|0\rangle$ и в состоянии $|1\rangle$ почти равно. Это равновесие является статистическим эффектом: чем меньше разность между количествами частиц в обоих состояниях, тем большим количеством конфигураций (микросостояний) системы она реализуется.

Однако если мы считаем частицы неразличимыми, то система имеет всего лишь $N+1$ различных конфигураций. Каждой конфигурации можно сопоставить число $K$ частиц, находящихся в состоянии $|1\rangle$ (и $N-K$ частиц, находящихся в состоянии $|0\rangle$ ); при этом $K$ может изменяться от 0 до $N$ . Поскольку все эти конфигурации равновероятны, то статистически никакой концентрации не происходит — доля частиц, находящихся в состоянии $|1\rangle ,$ распределена равномерно по отрезку [0, 1] . Конфигурация, когда все частицы находятся в состоянии $|0\rangle ,$ реализуется с той же вероятностью, что и конфигурация с половиной частиц в состоянии $|0\rangle$ и половиной — в состоянии $|1\rangle ,$ или конфигурация со всеми частицами в состоянии $|1\rangle .$

Если теперь предположить, что энергии двух состояний различны (для определённости, пусть энергия частицы в состоянии $|1\rangle$ выше, чем в состоянии $|0\rangle ,$ на величину $E$ ), то при температуре $T$ частица будет с большей вероятностью находиться в состоянии $|0\rangle$ . Отношение вероятностей равно $\exp(-E/k_{B}T)$ .

В случае различимых частиц их количество в первом и втором состояниях не будет равно, но отношение населённостей будет всё же близко к единице вследствие вышеуказанного статистического стремления системы к конфигурациям, где разность населённостей невелика (эти макросостояния обеспечиваются наибольшим числом конфигураций).

Напротив, когда частицы неразличимы, распределение населённостей существенно сдвигается в пользу состояния $|0\rangle ,$ и с увеличением числа частиц этот сдвиг будет увеличиваться, поскольку нет никакого статистического давления в сторону малой разности населённостей, и поведение системы определяется лишь большей вероятностью для частицы (при любой конечной температуре) занять более низкоэнергетический уровень.

Каждое значение $K$ задаёт для неразличимых частиц определённое состояние системы, вероятность которого описывается больцмановским распределением с учётом того, что энергия системы в состоянии $K$ равна $KE$ (поскольку ровно $K$ частиц занимают уровень с энергией $E$ ). Вероятность нахождения системы в этом состоянии:

P(K)=Ce^{-KE/k_{B}T}=Cp^{K}

.

Для достаточно больших $N$ нормировочная константа $C$ равна $(1-p)$ . Ожидаемое число частиц в состоянии $|1\rangle$ в пределе $N\rightarrow \infty$ равно ${\textstyle \sum \limits _{n>0}Cnp^{n}=p/(1-p)}$ . При больших $N$ эта величина практически перестаёт расти и стремится к константе, то есть при большом числе частиц относительная населённость верхнего уровня пренебрежимо мала. Таким образом, в термодинамическом равновесии большинство бозонов будут находиться в состоянии с наименьшей энергией, и лишь малая доля частиц будет в другом состоянии, вне зависимости от того, насколько мала разница уровней энергии.

Рассмотрим теперь газ из частиц, каждая из которых может находиться в одном из импульсных состояний, которые пронумерованы и обозначены как $|k\rangle .$ Если число частиц гораздо меньше, чем число доступных при данной температуре состояний, все частицы будут находиться на разных уровнях, то есть газ в этом пределе ведёт себя как классический. При увеличении плотности или уменьшении температуры число частиц на один доступный уровень энергии увеличивается, и в какой-то момент число частиц в каждом состоянии дойдёт до максимально возможного числа частиц в данном состоянии. Начиная с этого момента, все новые частицы будут вынуждены переходить в состояние с наименьшей энергией.

Чтобы рассчитать температуру фазового перехода при данной плотности, необходимо проинтегрировать по всем возможным импульсам выражение для максимального числа частиц в возбуждённом состоянии, ${\textstyle p/(1-p)}$ :

N=V\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{p(k) \over 1-p(k)}=V\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{1 \over e^{k^{2} \over 2mk_{B}T}-1},

p(k)=e^{-k^{2} \over 2mk_{B}T}.

При вычислении этого интеграла и подстановке множителя ħ для обеспечения требуемых размерностей получается формула для критической температуры из предыдущего раздела. Таким образом, этот интеграл определяет критическую температуру и концентрацию частиц, соответствующие условиям пренебрежимо малого химического потенциала . Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, $\mu$ не обязано строго равняться нулю для возникновения бозе-конденсата; однако $\mu$ меньше энергии основного состояния системы. Ввиду этого, при рассмотрении большинства уровней химический потенциал может считаться приблизительно нулевым, за исключением случаев, когда исследуется основное состояние.

История

В 1924 году в журнале Zeitschrift für Physik вышла статья Шатьендраната Бозе о квантовой статистике световых квантов (теперь называемых фотонами), в которой он вывел квантовый закон излучения Планка без какой-либо ссылки на классическую физику. Сначала Бозе послал эту статью Эйнштейну, тот был так впечатлён, что сам перевёл документ с английского на немецкий язык и передал его Бозе для публикации . Рукопись Эйнштейна долгое время считалась потерянной, но в 2005 году была найдена в библиотеке Лейденского университета .

В 1925 году , на основе работы Бозе, Эйнштейн теоретически предсказал существование Конденсата Бозе — Эйнштейна, как следствие из законов квантовой механики . Затем Эйнштейн расширил идеи Бозе в других работах . Результатом их усилий стала концепция бозе-газа , который управляется статистикой Бозе — Эйнштейна. Она описывает статистическое распределение неразличимых частиц с целочисленным спином, теперь называемых бозонами. Бозоны, которые включают в себя фотоны, а также атомы, такие как гелий-4 , могут занимать одно и то же квантовое состояние. Эйнштейн предположил, что охлаждение бозонных атомов до очень низкой температуры приведёт к их падению (или «конденсации») в самое низкое доступное квантовое состояние, что приведёт к новой форме материи.

В 1938 году Фриц Лондон предположил, что конденсат Бозе — Эйнштейна является механизмом возникновения сверхтекучести в ⁴ He и сверхпроводимости .

В 1995 году Эрику Корнеллу и Карлу Вимену из Национального института стандартов и технологий США при помощи лазерного охлаждения удалось охладить около 2 тысяч атомов рубидия-87 до температуры 20 нанокельвинов и экспериментально подтвердить существование конденсата Бозе — Эйнштейна в газах, за что они совместно с Вольфгангом Кеттерле , который четыре месяца спустя получил конденсат Бозе — Эйнштейна из атомов натрия с использованием принципа удержания атомов в магнитной ловушке , в 2001 году были удостоены Нобелевской премии по физике .

В 2000 году группе учёных из Гарвардского университета удалось замедлить свет до скорости много меньшей, чем 0,2 мм/с , направив его на конденсат Бозе — Эйнштейна рубидия . До этого наименьшая официально зарегистрированная скорость света в среде была чуть больше 60 км/ч — сквозь пары натрия при температуре −272 °C .

В 2010 году был впервые получен бозе-эйнштейновский конденсат фотонов .

К 2012 году , используя сверхнизкие температуры 10 ⁻⁷ K и ниже, удалось получить конденсаты Бозе — Эйнштейна для множества отдельных изотопов : ( ⁷ Li , ²³ Na , ³⁹ K , ⁴¹ K , ⁸⁵ Rb , ⁸⁷ Rb , ¹³³ Cs , ⁵² Cr , ⁴⁰ Ca , ⁸⁴ Sr , ⁸⁶ Sr , ⁸⁸ Sr , ¹⁷⁴ Yb , ¹⁶⁴ Dy , и ¹⁶⁸ Er ) .

В 2014 году сотрудникам Лаборатории холодного атома ( , CAL ) НАСА и учёным из Калифорнийского технологического института в Пасадине удалось создать конденсат Бозе — Эйнштейна в земном прототипе установки, предназначенной для работы на Международной космической станции . Полнофункциональная установка для создания конденсата Бозе — Эйнштейна в условиях невесомости была отправлена на МКС летом 2018 года. В 2020 году на ней был впервые получен конденсат Бозе — Эйнштейна на борту МКС .

В 2018 году российские физики под руководством Игоря Ткачёва разработали теорию, согласно которой могут существовать объекты размером со звезду, состоящие из бозонов, которые при взаимодействии посредством гравитации формируют конденсат Бозе — Эйнштейна за конечное время, эти гипотетические объекты являются кандидатами на роль холодной тёмной материи .

В 2020 году исследователи сообщили о создании сверхпроводящего конденсата Бозе — Эйнштейна и о том, что, по-видимому, существует «плавный переход между» режимами БЭК и сверхпроводимостью в теории Бардина–Купера–Шриффера .

В 2022 году исследователи сообщили о первом создании конденсата Бозе — Эйнштейна в непрерывном режиме. Ранее из-за ограничений возможностей испарительного охлаждения все исследователи были ограничены лишь импульсным режимом работы с БЭК, включающим очень неэффективный рабочий цикл, при котором более 99 % атомов теряются до перехода в состояние БЭК. Создание условия для конденсации конденсата Бозе — Эйнштейна в непрерывном режиме стало важной вехой экспериментальных исследований БЭК .

Примечания

↑ A.Douglas Stone, Chapter 24, The Indian Comet , in the book Einstein and the Quantum , Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 2013.
S. N. Bose. Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese (нем.) // Zeitschrift für Physik : magazin. — 1924. — Bd. 26 , Nr. 1 . — S. 178—181 . — doi : . — Bibcode : .
(неопр.) . Lorentz.leidenuniv.nl (27 октября 1920). Дата обращения: 23 марта 2011. 19 мая 2015 года.
A. Einstein. Quantentheorie des einatomigen idealen Gases (неопр.) // Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. — 1925. — Т. 1 . — С. 3 .
Clark, Ronald W. (неопр.) . — (англ.) ( , 1971. — С. 408—409. — ISBN 978-0-380-01159-9 .
London, F. Superfluids. — Vol. I and II, (reprinted New York: Dover, 1964)
(неопр.) . Lenta.ru (30 ноября 2010). Дата обращения: 23 июня 2018. 7 апреля 2014 года.
от 8 февраля 2011 на Wayback Machine Учёные замедлили скорость света до 0,2 миллиметра в секунду] от 8 февраля 2011 на Wayback Machine // ScienceBlog.ru — научный блог.
Слепов Н. // Фотоника. — 2007. — Вып. 1 . — С. 16—27 . 20 апреля 2014 года.
Hau L. V. et al. (англ.) // Nature. — 1999. — No. 397 . — P. 594 . — ISSN . 2 ноября 2012 года.
. РИА Новости . 2010-11-25. из оригинала 28 ноября 2010 . Дата обращения: 23 июня 2018 .
(англ.) . . 2010-11-24. из оригинала 23 декабря 2010 . Дата обращения: 23 июня 2018 .
Jan Klaers, Julian Schmitt, Frank Vewinger, Martin Weitz. (англ.) // Nature . — 2010. — Vol. 468 . — P. 545—548 .
Dale G. Fried; Thomas C. Killian; Lorenz Willmann; David Landhuis; Stephen C. Moss; Daniel Kleppner; Thomas J. Greytak. Bose–Einstein Condensation of Atomic Hydrogen (англ.) // Phys. Rev. Lett. : journal. — 1998. — Vol. 81 , no. 18 . — P. 3811 . — doi : . — Bibcode : .
Elizabeth Landau от 8 июля 2021 на Wayback Machine // NASA.
(неопр.) . Дата обращения: 11 июня 2020. 12 июня 2020 года.
D. G. Levkov, A. G. Panin, and I. I. Tkachev. // Phys. Rev. Lett.. — 2018. — Т. 121 . — С. 151301 . 12 января 2019 года.
. phys.org (англ.) . из оригинала 4 марта 2022 . Дата обращения: 8 декабря 2020 . {{ cite news }} : Указан более чем один параметр |accessdate= and |access-date= ( справка )
Hashimoto, Takahiro; Ota, Yuichi; Tsuzuki, Akihiro; Nagashima, Tsubaki; Fukushima, Akiko; Kasahara, Shigeru; Matsuda, Yuji; Matsuura, Kohei; Mizukami, Yuta; Shibauchi, Takasada; Shin, Shik; Okazaki, Kozo (1 November 2020). . Science Advances (англ.) . 6 (45): eabb9052. Bibcode : . doi : . ISSN . PMC . PMID .
Chun-Chia Chen; Rodrigo González Escudero; Jiří Minář; Benjamin Pasquiou; Shayne Bennetts; Florian Schreck (2022). . Nature . 606 (7915): 683—687. Bibcode : . doi : . PMC . PMID . S2CID .