Interested Article - Центростремительное ускорение

Разложение ускорения на тангенциальное и нормальное ( — единичный вектор нормали)

Центростреми́тельное (норма́льное) ускоре́ние — составляющая ускорения тела, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости (вторая составляющая, тангенциальное ускорение , характеризует изменение модуля скорости). Направлено к центру кривизны траектории, с чем и связан термин. Обозначается символом, выбранным для ускорения, с добавлением значка «нормальное»: (реже ); в системе СИ измеряется в м/с 2 .

Пример движения с ненулевым центростремительным ускорением — движение по окружности (в таком случае направлено к центру окружности).

В классической механике нормальное ускорение вызывается компонентами сил , направленными ортогонально вектору скорости. Например, движение космического объекта на орбите характеризуется центростремительным ускорением, вызванным гравитацией . Составляющая суммы сил, обусловливающая наличие нормального ускорения, называется центростремительной силой . Связанное понятие для неинерциальных систем отсчёта центробежная сила .

Осестремительное ускорение, рассматриваемое в случаях вращения тела вокруг оси, в проекции на плоскость, перпендикулярную оси, предстаёт как центростремительное.

Общая формула

Нормальное ускорение вычисляется по формуле

или (с использованием соотношения )

,

где — (мгновенная) линейная скорость движения по траектории, — (мгновенная) угловая скорость движения относительно центра кривизны траектории, — радиус кривизны траектории в данной точке.

Выражения могут быть переписаны в векторном виде:

.

Здесь — единичный вектор, направленный от данной точки траектории к центру кривизны траектории.

Эти формулы применимы как к частной ситуации равномерного движения ( const), так и к произвольному случаю. В равномерном случае нормальное ускорение совпадает с полным. В общем же случае нормальное ускорение — это лишь компонента вектора , перпендикулярная траектории движения (вектору ), а в полный вектор ускорения входит ещё и тангенциальная составляющая , сонаправленная касательной к траектории движения .

Вывод формулы

Для разложения ускорения на тангенциальное и нормальное можно продифференцировать по времени вектор скорости , представленный в виде через единичный вектор касательной :

.

Здесь первое слагаемое — тангенциальное ускорение , а второе — нормальное ускорение. Через обозначен единичный вектор нормали, — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке, — элемент длины траектории. Малый участок любой кривой может считаться дугой окружности, причём её радиус и есть радиус кривизны . В цепочке преобразований использованы очевидные соотношения и (где — малый угол поворота вокруг центра кривизны).

Равенство вытекает из геометрических соображений. Разность единичных касательных векторов в рассматриваемой ( ) и близкой к ней ( ) точках траектории составляет по величине , где — угол между и . Эта разность направлена под углом к нормали в рассматриваемой точке. При малости будет совпадение с вектором нормали . Также при малости возможно разложении синуса в ряд Тейлора . В результате придём к или, для бесконечно малых, .

О радиусе кривизны

Вычисление радиуса кривизны и координат центра кривизны траектории является математической задачей (см. Кривизна ). Если кривая задана уравнением , то радиус её кривизны в точке ( , ) находится как

,

а положение центра кривизны — по формулам

.

Единичный вектор нормали в таком случае составит ( , орты )

.

Если известна зависимость радиус-вектора материальной точки от времени (с математической точки зрения это означает задание траектории в параметрическом виде), то радиус кривизны можно найти через ускорение:

,

где и ; предварительно находится скорость как . Центр кривизны в общем случае не будет совпадать с началом отсчёта радиус-вектора.

Мотивация, замечания

То, что разложение вектора ускорения на компоненты — одну вдоль касательной к траектории (тангенциальное ускорение) и другую ортогональную ей (нормальное ускорение) — может быть удобным и полезным, довольно очевидно само по себе [ источник не указан 49 дней ] . При движении с постоянной по модулю скоростью тангенциальная составляющая становится равной нулю, то есть в этом важном частном случае остается только нормальная составляющая. Кроме того, каждая из этих составляющих имеет ярко выраженные собственные свойства и структуру, и нормальное ускорение содержит в структуре своей формулы достаточно важное и нетривиальное геометрическое наполнение. Крайне важен также частный случай движения по окружности.

Абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

История понятия

Первым правильные формулы для центростремительного ускорения (или центробежной силы) получил, по-видимому, Гюйгенс . Практически с этого времени рассмотрение центростремительного ускорения входит в обычную технику решения механических задач.

Несколько позже эти формулы сыграли существенную роль в открытии закона всемирного тяготения (формула центростремительного ускорения использовалась для получения закона зависимости гравитационной силы от расстояния до источника гравитации, исходя из выведенного из наблюдений третьего закона Кеплера ).

К XIX веку рассмотрение центростремительного ускорения становится уже совершенно рутинным как для чистой науки, так и для инженерных приложений.

См. также

Примечания

  1. Как видно из формулы, при движении с постоянной путевой скоростью — тангенциальное ускорение попросту равно нулю.
  2. Дата обращения: 17 апреля 2021. 15 января 2022 года.
Источник —

Same as Центростремительное ускорение