Аксиома зависимого выбора — одно из ослаблений аксиомы выбора . Обычно обозначается как ${\displaystyle \mathbf {DC} }$ . Аксиома зависимого выбора следует из полной аксиомы выбора и влечёт за собой аксиому счётного выбора , таким образом, в ${\displaystyle \mathbf {ZF} }$ ${\displaystyle \mathbf {AC} _{\omega }<\mathbf {DC} <\mathbf {AC} }$ .

Формулировка: если задано произвольное непустое множество ${\displaystyle X}$ с полным слева отношением ${\displaystyle R}$ (отношение ${\displaystyle R}$ называется полным слева, если для любого ${\displaystyle x}$ существует ${\displaystyle y}$ , что ${\displaystyle xRy}$ ), то существует такая последовательность ${\displaystyle x_{n}}$ элементов ${\displaystyle X}$ , что :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}Rx_{n+1}}$ .

Следующие утверждения эквивалентны в ${\displaystyle \mathbf {ZF} }$ аксиоме зависимого выбора: теорема Бэра о категориях ; теорема Лёвенгейма — Скулема ; . У леммы Цорна для конечных цепей есть две эквивалентных формулировки:

• если в частично упорядоченном множестве все цепи конечны, то множество имеет максимальный элемент. ;
• если в частично упорядоченном множестве все вполне-упорядоченные цепи конечны, то множество имеет максимальный элемент.

(Несмотря на то, что вторая формулировка сильнее, чем первая, они эквивалентны в ${\displaystyle \mathbf {ZF} }$ .)

Обобщения

Аксиома зависимого выбора для трансфинитных последовательностей: если в формулировке аксиомы зависимого выбора допустить не только счётные последовательности, но и трансфинитные, можно получить усиление этой аксиомы.

Пусть ${\displaystyle \gamma }$ — некоторый ординал. Функция ${\displaystyle x_{\alpha }\colon \gamma \to X}$ называется трансфинитной последовательностью типа ${\displaystyle \gamma }$ . Обозначим за ${\displaystyle S_{\gamma }}$ множество всех последовательностей типа меньше ${\displaystyle \gamma }$ . Аксиома зависимого выбора для трансфинитных последовательностей формулируется для определённого начального ординала ${\displaystyle \lambda }$ и обозначается как ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda }}$ .

Пусть задано непустое множество ${\displaystyle X}$ и полное слева бинарное отношение ${\displaystyle R\subset S_{\gamma }\times X}$ . Тогда ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda }}$ утверждает, что существует трансфинитная последовательность ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \lambda }}$ типа ${\displaystyle \lambda }$ такая, что ${\displaystyle \forall \mu <\lambda \colon \{a_{n}\}_{n\in \mu }Ra_{\mu }}$ .

Аксиома ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\omega }}$ эквивалентна ${\displaystyle \mathbf {DC} }$ . Обобщения же для больших ординалов строго сильнее её, но слабее полной аксиомы выбора: ${\displaystyle \mathbf {DC} <\mathbf {DC} _{\omega _{1}}<\mathbf {DC} _{\omega _{2}}<\ldots <\mathbf {AC} }$ . Выполнение же ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda }}$ для любых начальных ординалов эквивалентно полной аксиоме выбора: ${\displaystyle (\forall \lambda \colon \mathbf {DC} _{\lambda })\Leftrightarrow \mathbf {AC} }$ .

Для аксиом ${\displaystyle \mathbf {DC} _{\lambda }}$ есть соответствующие им эквивалентные ослабления леммы Цорна:

• если в частично упорядоченном множестве все цепи вполне упорядочены, имеют порядковый тип меньше ${\displaystyle \lambda }$ и имеют верхнюю грань, то в множестве есть максимальный элемент ;
• если в частично упорядоченном множестве каждая вполне упорядоченная цепь имеет порядковый тип меньше ${\displaystyle \lambda }$ и имеет верхнюю грань, то в множестве есть максимальный элемент .

Примечания

Литература

• Wolk Elliot S. On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma (англ.) // Canadian Mathematical Bulletin : журнал. — 1983. — Vol. 26 , no. 3 . — P. 365–367 . — doi : .
• Blair Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. : журнал. — 1977. — Т. 25 , № 10 . — С. 933–934 .
• Moore Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. — Springer, 1982. — ISBN 0-387-90670-3 .
• Boolos George S., Jeffrey Richard C. Computability and Logic. — 3rd. — Cambridge University Press, 1989. — ISBN 0-521-38026-X .