Схема свёртывания ( англ. Comprehension Scheme ) — схема аксиом наивной теории множеств . Неформально она говорит о том, что для каждого свойства существует множество, состоящее в точности из тех элементов, что удовлетворяют этому свойству. Схема свёртывания формализует известное школьное определение множества, гласящее, что «множество — это совокупность элементов, обладающих общим свойством». На языке логики предикатов схема свёртывания записывается следующим образом:

${\displaystyle \exists A\ \forall x\ (x\in A\leftrightarrow \varphi )}$

Здесь под ${\displaystyle \varphi }$ понимается любая формула языка логики предикатов с равенством и двуместным предикатным символом ${\displaystyle \in }$ , в которую не входит свободно переменная ${\displaystyle A}$ . Таким образом, схема представляет собой набор аксиом по одной для каждой конкретной формулы ${\displaystyle \varphi }$ .

Схема свёртывания является противоречивой. Для вывода противоречия в наивной теории множеств даже не нужно использовать аксиому объёмности : схема свёртывания сама по себе противоречива.

Противоречивость

Из схемы свёртывания можно вывести противоречие. Одно из наиболее известных выводимых из неё противоречий называется парадоксом Рассела .

Рассмотрим формулу

${\displaystyle \varphi :\leftrightarrow \lnot (x\in x)}$

Схема свёртывания утверждает, что существует такое множество ${\displaystyle A}$ , что

${\displaystyle \forall x\ x\in A\leftrightarrow \lnot (x\in x)}$

Возьмём ${\displaystyle x}$ равный ${\displaystyle A}$ . Тогда

${\displaystyle A\in A\leftrightarrow \lnot (A\in A)}$ — противоречие.

Также есть и другие известные противоречия, например парадокс Кантора или парадокс Бурали-Форти .

Вариации и обобщения

Есть различные модифиации схемы свёртывания для того, чтобы избавить её от противоречий.

Схема выделения

Схема ограниченного свёртывания (выделения) постулирует существование множества удовлетворяющих некоторому свойству элементов уже существующего множества. Схема выделения позволяет выделять подмножества при помощи любой формулы. Формально схема записывается так:

${\displaystyle \forall B\ \exists A\ \forall x\ (x\in A\leftrightarrow x\in B\land \varphi )}$

Данная схема является основным способом построения множеств в теориях множеств и Цермело-Френкеля . Полную схему свёртывания иногда называют схемой неограниченного свёртывания или схемой неограниченного выделения.

Схема свёртывания классов

В теории множеств фон Неймана-Бернайса-Гёделя кроме множеств присутствуют также классы . Классы могут состоять из всех множеств, удовлетворяющих некоторому свойству, что и утверждает данный аналог схемы свёртывания:

${\displaystyle \exists A\ \forall x\ (x\in A\leftrightarrow \varphi )}$

Отличие от обычной схемы свёртывания здесь в том, что маленькими буквами обозначаются множества, а большими — классы. Стоит понимать, что класс, полученный в результате применения схемы свёртывания, может не оказаться множеством. Также данная схема не позволяет строить совокупности классов, обладающих некоторым свойством, поскольку не все классы могут принадлежать другому.

Схема свёртывания в теории типов

В простой теории типов схема свёртывания выглядит следующим образом:

${\displaystyle \exists A_{n+1}\ \forall x_{n}\ (x_{n}\in A_{n+1}\leftrightarrow \varphi )}$

Здесь индекс переменных обозначает их тип. В теории типов множеству типа ${\displaystyle n+1}$ позволяется иметь лишь элементы типа ${\displaystyle n}$ , поэтому формулы вида ${\displaystyle x\in x}$ просто не допускаются.

Схема свёртывания для стратифицируемых формул

В используется иной подход для борьбы с противоречивостью схемы свёртывания. В отличие от схемы выделения, где ограничения накладываются на элементы, в новых основаниях ограничения накладываются на формулы. Требуется, чтобы формула была стратифицируемой, то есть чтобы было возможно расставить в ней для каждой переменной типы так, чтобы это была корректная формула простой теории типов. Схема свёртывания имеет такой вид:

${\displaystyle \exists A\ \forall x\ (x\in A\leftrightarrow \varphi )}$ ,

где ${\displaystyle \varphi }$ — стратифицируемая формула.

См. также

• Наивная теория множеств
• Аксиома объёмности

Примечания

Литература

И. М. Виноградов . Математическая энциклопедия (рус.) . — М. : Советская Энциклопедия , 1977. — Т. 1. — Стб. 1152. — 150 000 экз.