Односторо́нний преде́л
в
математическом анализе
—
предел числовой функции
, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно
левосторо́нним преде́лом
(или
преде́лом сле́ва
) и
правосторо́нним преде́лом
(
преде́лом спра́ва
).
Определения
Пусть на некотором
числовом
множестве
M
⊂
R
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} }
задана
числовая функция
f
:
M
→
R
{\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }
и число
a
{\displaystyle a}
—
предельная точка
области определения
M
{\displaystyle M}
. Существуют различные определения для односторонних пределов функции
f
(
x
)
{\displaystyle f\left(x\right)}
в точке
a
{\displaystyle a}
, но все они эквивалентны.
Односторонний предел по
Гейне
Число
A
∈
R
{\displaystyle A\in \mathbb {R} }
называется
правосторонним пределом
(
правым пределом
,
пределом справа
) функции
f
(
x
)
{\displaystyle f\left(x\right)}
в точке
a
{\displaystyle a}
, если для всякой
последовательности
{
x
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}
, состоящей из точек, больших числа
a
{\displaystyle a}
, которая сама сходится к числу
a
{\displaystyle a}
, соответствующая последовательность значений функции
{
f
(
x
n
)
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}
сходится к числу
A
{\displaystyle A}
.
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
=
A
⇔
∀
{
x
n
}
n
=
1
∞
:
(
∀
k
∈
N
⇒
x
k
>
a
)
∧
lim
n
→
∞
x
n
=
a
⇒
lim
n
→
∞
{
f
(
x
n
)
}
n
=
1
∞
=
A
{\displaystyle \lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}>a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A}
Число
A
∈
R
{\displaystyle A\in \mathbb {R} }
называется
левосторонним пределом
(
левым пределом
,
пределом слева
) функции
f
(
x
)
{\displaystyle f\left(x\right)}
в точке
a
{\displaystyle a}
, если для всякой последовательности
{
x
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}
, состоящей из точек, меньших числа
a
{\displaystyle a}
, которая сама сходится к числу
a
{\displaystyle a}
, соответствующая последовательность значений функции
{
f
(
x
n
)
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}
сходится к числу
A
{\displaystyle A}
.
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
=
A
⇔
∀
{
x
n
}
n
=
1
∞
:
(
∀
k
∈
N
⇒
x
k
<
a
)
∧
lim
n
→
∞
x
n
=
a
⇒
lim
n
→
∞
{
f
(
x
n
)
}
n
=
1
∞
=
A
{\displaystyle \lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}<a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{n\to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A}
Односторонний предел по
Коши
Число
A
∈
R
{\displaystyle A\in \mathbb {R} }
называется
правосторонним пределом
(
правым пределом
,
пределом справа
) функции
f
(
x
)
{\displaystyle f\left(x\right)}
в точке
a
{\displaystyle a}
, если для всякого положительного числа
ε
{\displaystyle \varepsilon }
отыщется отвечающее ему положительное число
δ
{\displaystyle \delta }
такое, что для всех точек
x
{\displaystyle x}
из
интервала
(
a
,
a
+
δ
)
{\displaystyle \left(a,a+\delta \right)}
справедливо
неравенство
|
f
(
x
)
−
A
|
<
ε
{\displaystyle \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }
.
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
=
A
⇔
∀
ε
>
0
∃
δ
=
δ
(
ε
)
>
0
:
∀
x
∈
(
a
,
a
+
δ
)
⇒
|
f
(
x
)
−
A
|
<
ε
{\displaystyle \lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\colon ~\forall x\in \left(a,a+\delta \right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }
Число
A
∈
R
{\displaystyle A\in \mathbb {R} }
называется
левосторонним пределом
(
левым пределом
,
пределом слева
) функции
f
(
x
)
{\displaystyle f\left(x\right)}
в точке
a
{\displaystyle a}
, если для всякого положительного числа
ε
{\displaystyle \varepsilon }
отыщется отвечающее ему положительное число
δ
{\displaystyle \delta }
, такое, что для всех точек
x
{\displaystyle x}
из интервала
(
a
−
δ
,
a
)
{\displaystyle \left(a-\delta ,a\right)}
справедливо неравенство
|
f
(
x
)
−
A
|
<
ε
{\displaystyle \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }
.
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
=
A
⇔
∀
ε
>
0
∃
δ
=
δ
(
ε
)
>
0
:
∀
x
∈
(
a
−
δ
,
a
)
⇒
|
f
(
x
)
−
A
|
<
ε
{\displaystyle \lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\colon ~\forall x\in \left(a-\delta ,a\right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon }
Односторонний предел как предел вдоль фильтра
Односторонний предел является частным случаем общего понятия
предела функции вдоль фильтра
. Пусть
M
⊂
R
,
{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ,}
и
a
∈
M
′
.
{\displaystyle a\in M'.}
Тогда системы множеств
B
+
=
{
(
a
,
a
+
δ
)
∩
M
∣
δ
>
0
}
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{+}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}}
и
B
−
=
{
(
a
−
δ
,
a
)
∩
M
∣
δ
>
0
}
{\displaystyle {\mathfrak {B}}_{-}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}}
являются
фильтрами
. Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:
lim
B
+
f
(
x
)
≡
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
;
{\displaystyle \lim \limits _{{\mathfrak {B}}_{+}}f(x)\equiv \lim \limits _{x\to a+}f(x);}
lim
B
−
f
(
x
)
≡
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
.
{\displaystyle \lim \limits _{{\mathfrak {B}}_{-}}f(x)\equiv \lim \limits _{x\to a-}f(x).}
Обозначения
Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:
lim
x
→
a
+
f
(
x
)
,
lim
x
→
a
+
0
f
(
x
)
,
lim
x
↓
a
f
(
x
)
,
lim
x
↘
a
f
(
x
)
;
{\displaystyle \lim \limits _{x\to a+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow a}f(x),\ \ \lim _{x\searrow a}f(x);}
Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:
lim
x
→
a
−
f
(
x
)
,
lim
x
→
a
−
0
f
(
x
)
,
lim
x
↑
a
f
(
x
)
,
lim
x
↗
a
f
(
x
)
.
{\displaystyle \lim \limits _{x\to a-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow a}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow a}f(x).}
При этом используются также сокращённые обозначения:
f
(
a
+
)
{\displaystyle f\left(a+\right)}
и
f
(
a
+
0
)
{\displaystyle f\left(a+0\right)}
для правого предела;
f
(
a
−
)
{\displaystyle f\left(a-\right)}
и
f
(
a
−
0
)
{\displaystyle f\left(a-0\right)}
для левого предела.
При
a
=
0
{\displaystyle a=0}
для сокращения записи вместо
lim
x
→
0
+
0
f
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\to 0+0}f(x)}
и
lim
x
→
0
−
0
f
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\to 0-0}f(x)}
обычно пишут
lim
x
→
+
0
f
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\to +0}f(x)}
и
lim
x
→
−
0
f
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\to -0}f(x)}
соответственно.
Свойства
Основные свойства односторонних пределов идентичны
свойствам обычных пределов
и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
Для существования (двустороннего) предела функции
необходимо и достаточно
, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.
Примеры
Функция из второго примера
Тождественная числовая функция
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f\left(x\right)=x}
Область определения:
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Правый предел:
∀
a
∈
R
:
lim
x
→
a
+
0
x
=
a
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \colon \lim _{x\to a+0}x=a}
Левый предел:
∀
a
∈
R
:
lim
x
→
a
−
0
x
=
a
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \colon \lim _{x\to a-0}x=a}
Правый и левый пределы совпадают, так что имеется обычный предел:
∀
a
∈
R
:
lim
x
→
a
x
=
a
{\displaystyle \forall a\in \mathbb {R} \colon \lim _{x\to a}x=a}
Кусочно-заданная функция
f
(
x
)
=
{
x
2
,
x
<
3
11
−
(
x
−
3
)
2
,
x
>
3
{\displaystyle f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x<3\\11-\left(x-3\right)^{2},&x>3\end{cases}}}
Область определения:
R
∖
{
3
}
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{3\right\}}
Правый предел:
lim
x
→
3
+
0
f
(
x
)
=
11
{\displaystyle \lim _{x\to 3+0}f\left(x\right)=11}
Левый предел:
lim
x
→
3
−
0
f
(
x
)
=
9
{\displaystyle \lim _{x\to 3-0}f\left(x\right)=9}
Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке
x
=
3
{\displaystyle x=3}
не существует
Функция sgn(x)
f
(
x
)
=
{
0
,
x
=
0
x
|
x
|
,
x
≠
0
{\displaystyle f\left(x\right)={\begin{cases}0,&x=0\\{\frac {x}{\left|x\right|}},&x\neq 0\end{cases}}}
Область определения:
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Правый предел:
lim
x
→
0
+
0
sgn
(
x
)
=
+
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\operatorname {sgn} \left(x\right)=+1}
Левый предел:
lim
x
→
0
−
0
sgn
(
x
)
=
−
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0-0}\operatorname {sgn} \left(x\right)=-1}
Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке
x
=
0
{\displaystyle x=0}
не существует
См. также
Примечания
↑
В. А. Ильин
,
В. А. Садовничий
,
Бл. Х. Сендов
.
Глава 3. Теория пределов
//
/
Под ред.
А. Н. Тихонова
. —
3-е изд.
, перераб. и доп. —
М.
: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. —
ISBN 5-482-00445-7
.
23 июня 2015 года.