Interested Article - Односторонний предел
- 2020-04-27
- 1
Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции , подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва ) и правосторо́нним преде́лом ( преде́лом спра́ва ).
Определения
Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число — предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции в точке , но все они эквивалентны.
Односторонний предел по Гейне
-
Число
называется
правосторонним пределом
(
правым пределом
,
пределом справа
) функции
в точке
, если для всякой
последовательности
, состоящей из точек, больших числа
, которая сама сходится к числу
, соответствующая последовательность значений функции
сходится к числу
.
-
Число
называется
левосторонним пределом
(
левым пределом
,
пределом слева
) функции
в точке
, если для всякой последовательности
, состоящей из точек, меньших числа
, которая сама сходится к числу
, соответствующая последовательность значений функции
сходится к числу
.
Односторонний предел по Коши
-
Число
называется
правосторонним пределом
(
правым пределом
,
пределом справа
) функции
в точке
, если для всякого положительного числа
отыщется отвечающее ему положительное число
такое, что для всех точек
из
интервала
справедливо
неравенство
.
-
Число
называется
левосторонним пределом
(
левым пределом
,
пределом слева
) функции
в точке
, если для всякого положительного числа
отыщется отвечающее ему положительное число
, такое, что для всех точек
из интервала
справедливо неравенство
.
Односторонний предел как предел вдоль фильтра
Односторонний предел является частным случаем общего понятия предела функции вдоль фильтра . Пусть и Тогда системы множеств
и
являются фильтрами . Пределы вдоль этих фильтров совпадают с соответствующими односторонними пределами:
Обозначения
-
Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:
-
Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:
-
При этом используются также сокращённые обозначения:
- и для правого предела;
- и для левого предела.
- При для сокращения записи вместо и обычно пишут и соответственно.
Свойства
- Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
- Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно , чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.
Примеры
-
Тождественная числовая функция
- Область определения:
- Правый предел:
- Левый предел:
- Правый и левый пределы совпадают, так что имеется обычный предел:
-
Кусочно-заданная функция
- Область определения:
- Правый предел:
- Левый предел:
- Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке не существует
-
Функция sgn(x)
- Область определения:
- Правый предел:
- Левый предел:
- Правый и левый пределы различны, так что обычного предела в точке не существует
См. также
Примечания
- ↑ В. А. Ильин , В. А. Садовничий , Бл. Х. Сендов . Глава 3. Теория пределов // / Под ред. А. Н. Тихонова . — 3-е изд. , перераб. и доп. — М. : Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105 — 121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7 . 23 июня 2015 года.
- 2020-04-27
- 1