Об утверждении , зависящем от точки пространства с мерой , говорят, что оно выполнено почти всюду , если множество точек, для которых оно не выполнено, имеет меру ноль .

Часто используется сокращение, п.в. для почти всюду . Например для функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle h}$ выражение

${\displaystyle f=\!=^{\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{п.в.}}}h}$

означает, что равенство

${\displaystyle f(x)=h(x)}$

выполняется при почти всех значениях переменной ${\displaystyle x}$ .

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой. Обозначим символом ${\displaystyle T}$ множество точек из ${\displaystyle X}$ , для которых верно некоторое утверждение ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ . Говорят, что утверждение ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ выполнено почти всюду (п.в.), если

${\displaystyle (X\setminus T)\subset A,\mu (A)=0}$

Замечания

• Множество, на котором условие не выполнено, не всегда является измеримым .
• Если пространство с мерой является вероятностным пространством , то вместо слов «почти всюду» употребляют «почти наверное» или «почти наверняка» (см. статью « почти достоверное событие »).

Примеры

• Функция Дирихле равна нулю почти всюду, ибо ${\displaystyle m(\mathbb {Q} )=0}$ , где ${\displaystyle m}$ — мера Лебега на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• Канторова лестница имеет производную, равную нулю почти всюду.

См. также

• Сходимость почти всюду

Примечания