Interested Article - Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров

Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров — теорема, формулирующая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами. Характер зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров представляет значительный интерес для практики.

Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров вместе с подробным доказательством излагается в университетских учебниках МГУ , учебнике для инженерно-физических и физико-технических специальностей вузов . Значимость теоремы о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров определяется тем, что при описании физических систем посредством дифференциальных уравнений эмпирические оценки внешних воздействий и параметров начального положения производятся обычно с некоторой ошибкой. Для того, чтобы решение дифференциального уравнения, которое описывает физический процесс, имело практическую ценность, необходимо быть уверенным, что небольшие ошибки в параметрах ведут к небольшим изменениям в решении.


Формулировка

Система обыкновенных дифференциальных уравнений

( 1 )

где — независимая скалярная переменная, — вектор, вектор , , — векторная функция вектора , вектора и скаляра , знак означает производную по .

Если все функции , и все их частные производные до -го порядка по всем и непрерывны по всем их аргументам и ограничены, когда точка находится в области , а , где — некоторое положительное число, то для каждой внутренней точки области можно указать такой интервал , заключающий внутри себя точку , что при всех рассматриваемых на нём существует одна и только одна система функций

которые удовлетворяют системе ( ), имеют непрерывные производные до -го порядка по всем и при обращаются в . Эта теорема остаётся верной и для , если функции удовлетворяют условию Липшица по с коэффициентом, не зависящим от .

Пояснения

Областью называется непустое множество точек, обладающее следующими двумя свойствами:

  1. Каждая точка есть внутренняя, то есть она имеет окрестность, целиком принадлежащую G.
  2. Множество связно, те любые две его точки можно соединить состоящей из конечного

числа звеньев ломаной, целиком лежащей внутри .

Примечания

  1. , с. 59.
  2. Л. С. Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М. , Наука , 1970. — с. 178—195
  3. И. Г. Петровский Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. , Наука , 1970. — с. 82-86
  4. П. И. Лизоркин Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. — М. , Наука , 1981. — с. 56-59
  5. , с. 110—111.
  6. , с. 9.

Литература

  • И.Г. Петровский . Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. , Л. : ГосТехТеорИздат, 1949. — 208 с.
  • П.И. Лизоркин . Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. — М. : Наука, 1981. — 384 с.
Источник —

Same as Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров