Исследуя
Великую теорему Ферма
,
Софи Жермен
доказала следующую теорему:
Если
—
простое число
, а для простого числа
верны следующие 2 условия:
1). Среди остатков от деления
-ых степеней на
нет соседних, кроме нуля и единицы.
2). Число
не является
-ой степенью по модулю
.
Тогда для показателя
справедлив первый случай теоремы Ферма (уравнение
неразрешимо в натуральных
, где
не делится на
)
В частности, если
и
просты (при этом
называется
числом Софи Жермен
), то для
справедлив первый случай теоремы Ферма.
Полезно иметь в виду, что любая
-ая степень
по модулю
удовлетворяет сравнению
Действительно, если
, где
, то по
малой теореме Ферма
При
для любого простого
существует только 2 несравнимых числа ξ , удовлетворяющих сравнению
, а именно числа
и
Поскольку 1 и -1 не являются соседними
-ыми степенями по модулю
, следовательно Условие 2 для
выполняется автоматически
Поскольку
не может делиться на простое число
, то при
Условие 3 также выполнено
Следствие Лежандра.
Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя
, если хотя бы одно из пяти чисел:
является простым числом
Следствие Вендта.
Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя
, если существует такое
, что:
1). Число
является простым числом, не делящим числа
2). Число
не делится на
Число
допускает 3 равнозначных определения:
а).
, где
б).
является определителем матрицы:
в).
представляет собой т.н.
результант
многочленов
и
Итальянские историки математики А. Чентина и А. Фьокка, исследовавшие письменное наследие С. Жермен, пришли к выводу, что её вклад в доказательство большой теоремы Ферма не ограничивается только теоремой Жермен, а простирается намного дальше
.
Примечания
-
М. М. Постников.
Теорема Ферма. — НАУКА Главная редакция физико-математической литературы, 1978. —
С. 24
.
-
М. М. Постников.
Теорема Ферма. — НАУКА Главная редакция физико-математической литературы, 1978. —
С. 25
.
-
М. М. Постников.
Теорема Ферма. — НАУКА Главная редакция физико-математической литературы, 1978. —
С. 15
.
-
М. М. Постников.
Теорема Ферма. — НАУКА Главная редакция физико-математической литературы, 1978. —
С. 16
.
-
Виноградова Т.
В.
//Социальные и гуманитарные науки. Отечественная и зарубежная литература. Сер. 8, Науковедение: Реферативный журнал. 2013 №2.
Ссылки