Абстрактный клеточный компле́кс — множество с , в котором неотрицательное целое число, называемое размерностью, присвоено каждой точке. Понятие используется в для задач анализа двумерных и трёхмерных цифровых изображений . Комплекс называется «абстрактным» потому, что его точки, называемые «клетками», не являются подмножествами хаусдорфова пространства , как это требуется для клеточных комплексов , применяемых в алгебраической топологии и теории гомотопий .

История

Сходные конструкции с подобным уровнем общности рассматривались Листингом (1862) , Штайницем (1908) , (1933) , Рейдемейстером (1938) .

Штайниц определил абстрактный клеточный комплекс как тройку ${\displaystyle C=(E,B,dim)}$ , где ${\displaystyle E}$ — произвольное множество, ${\displaystyle B}$ — антисимметричное , иррефлексивное и транзитивное бинарное отношение ограничивания между элементами множества ${\displaystyle E}$ , а ${\displaystyle dim:E\to \mathbb {N} }$ — функция, присваивающая неотрицательное число каждому элементу из ${\displaystyle E}$ таким образом, что если ${\displaystyle B(a,b)}$ , то справедливо: ${\displaystyle dim(a)<dim(b)}$ . «Клеточный комплекс» в определении Уайтхеда (1939) требует отделимости пространства и гомеоморфность клеток единичному евклидову кубу соответствующей размерности , в дальнейшем используя эту конструкцию для определения CW-комплекса . Александров в книге «Комбинаторная топология» (1941, первое издание вышло в 1947 году ), определяя «клеточный комплекс», наложил требования наличия в комплексе противоположной клетки и определённости коэффициента инцидентности между каждой парой клеток соседних размерностей (тем самым максимально приблизив к симплициальному комплексу ).

С 1989 года абстрактные комплексы в определении Штайница используются в исследованиях проблематики компьютерного анализа изображений .

Свойства

Топология абстрактных комплексов основана на частичном порядке на множестве его точек или клеток. В отличие от симплициального комплекса , элементы абстрактного комплекса не являются симплексами , в частности, ${\displaystyle n}$ -мерный элемент абстрактного комплекса не обязательно имеет ${\displaystyle n+1}$ нульмерных сторон и не каждое подмножество множества нульмерных сторон является клеткой. Благодаря этому понятие абстрактного клеточного комплекса может быть применено к двух- и трёхмерным решёткам, широко используемым в обработке изображений , тогда как для симплициального комплекса это невозможно. В абстрактном комплексе можно ввести координаты, потому что существуют несимплициальные комплексы, являющиеся декартовыми произведениями таких «линейных» связных одномерных комплексов, в которых каждая (кроме двух) нульмерная клетка ограничивает ровно две одномерные клетки. Только декартовы комплексы позволяют ввести такие координаты, что каждая клетка имеет набор координат и две различные клетки имеют всегда разные наборы координат. Набор координат может служить «именем» (идентификатором) клетки, что важно для обработки комплексов. Абстрактные комплексы позволяют кроме того ввести классическую топологию (топологию Александрова) в решётки, которые служат основой обработки изображений, благодаря чему становится возможным дать точные определения топологических понятий связности и границы подмножества. Размерность клеток определяется в общем случае иначе, чем в симплициальных комплексах.

Основное отличие от клеточных комплексов, применяемых в алгебраической топологии в том, что абстрактный комплекс не накладывает требований к отделимости пространства. Это важно для работы с компьютером, которому невозможно предъявить недискретные отделимые пространства.

Примечания