Interested Article - Степень точки относительно окружности

Степень внешней точки $P$ относительно окружности равна ${\color {DarkOrange}PO}^{2}-{\color {blue}OT}^{2}=$ ${\color {red}PT}^{2}=$ $PA\cdot PB=$ $PM\cdot PN$

Степень точки относительно окружности — величина $d^{2}-R^{2}$ , где $d$ — расстояние от точки до центра окружности, a $R$ — радиус окружности. По этому определению точки внутри круга имеют отрицательные степени, точки вне круга имеют положительные степени, а точки на окружности имеют нулевую степень. Для точки, лежащей вне окружности, из теоремы Пифагора следует, что степень точки относительно окружности есть квадрат длины касательной, проведённой из данной точки к данной окружности. Степень точки также известна как степень окружности или степень круга относительно точки.

Свойства

Теорема о двух секущих: $AB\cdot AC=AD\cdot AE$

Если прямая, проходящая через точку $A$ $A$ , пересекает окружность $\Gamma$ $\Gamma$ в точках $B$ $B$ и $C$ $C$ , то степень $A$ $A$ относительно $\Gamma$ $\Gamma$ равна $\pm AB\cdot AC$ $\pm AB\cdot AC$ ; в этой формуле стоит «+» если $A$ $A$ лежит снаружи $\Gamma$ $\Gamma$ и «-» если внутри. В частности,
- ( Теорема о двух секущих ) Если из точки , лежащей вне окружности , проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть: $AB\cdot AC=AD\cdot AE$ (рис.).
- ( Теорема о секущей и касательной ) Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

Связанные определения

Для двух не концентрических окружностей геометрическое место точек Р , для которых степени относительно обеих окружностей равны, является прямой, называемой радикальной осью окружностей .

Для трёх окружностей, центры которых не лежат на одной прямой существует единственная точка, такая, что её степени относительно всех трёх окружностей равны. Эта точка называется радикальным центром трёх окружностей .

Со степенью точки относительно окружности тесно связано понятие Инверсное расстояние .

История

Термин «степень» в этом значении был впервые употреблён Якобом Штейнером .

Вариации и обобщения

Аналогично определяется степень точки относительно сферы в $n$ -мерном евклидовом пространстве.

Литература

Коксетер Г. С. М. , Грейтцер С. П. . — М. : Наука , 1978. — Т. 14. — ( Библиотека математического кружка ).
Я. П. Понарин. §3.1 Степень точки относительно сферы // Элементарная геометрия. — М. : МЦНМО , 2006. — Т. 2. — С. 146. — 256 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-223-5 .